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1°. Faites… $\scriptstyle d~\cdot ~i~::~a~\cdot ~{\frac {ai}{d}}$, c’est l’intérêt d’un terme.

2°. Multipliez par t, vient $\scriptstyle {\frac {ait}{d}}$… c’est l’intérêt total.

3°. Ajoutez a ou $\scriptstyle {\frac {ad}{d}}$, vous aurez $\scriptstyle {\frac {ad+ait}{d}}=a\times {\frac {d+it}{d}}$

Ainsi		$\scriptstyle r=a\times {\frac {d+it}{d}}$
D’où l’on tire…	$\left\{{\begin{matrix}\ \\\\\ \end{matrix}}\right.$	$\scriptstyle a=r\times {\frac {d}{d+it}}$
		$\scriptstyle i=d\times {\frac {r-a}{at}}$
		$\scriptstyle t=d\times {\frac {r-a}{ai}}$

7. Exemple I. Un homme a prêté 1200 liv. à 3% par an d’intérêt : à combien montent intérêts et principal au bout de 4 ans ?

	$\scriptstyle a=1200$ liv.
Faisant	$\scriptstyle d=100$, & substituant…	$\scriptstyle r=1200\times {\frac {112}{100}}={\frac {134400}{100}}=1344$ liv.
	$\scriptstyle i=3$.
	$\scriptstyle t=4$.

Exemple II. Un homme ayant gardé 1200 livres pendant un certain tems, rend 1344 liv. pour principal, & intérêt à raison de 3 pour % : combien l’argent a-t-il été gardé ?

Substituant dans la quatrieme formule, on trouvera, $\scriptstyle t=100\times {\frac {1344-1100}{3600}}={\frac {14400}{3600}}=4$.

Quand t est une fraction, cette circonstance n’ajoute (en cette espece d’intérêt) aucune difficulté réelle : le calcul en devient seulement un peu plus compliqué.

8. De l’intérêt redoublé ou composé. Les appellations restant les mêmes que ci-dessus, pour avoir r, raisonnez ainsi :

Le capital du premier terme étant a, l’intérêt sera $\scriptstyle {\frac {ai}{d}}$ ; à quoi ajoutant a ou $\scriptstyle {\frac {ad}{d}}$, r pour ce premier terme sera $\scriptstyle {\frac {ad+ai}{d}}=a\times {\frac {d+1}{d}}$.

Le capital du second terme étant $\scriptstyle {\frac {ad+ai}{d}}$,

l’intérêt sera $\scriptstyle {\frac {aid+ai^{2}}{d^{2}}}$ ; à quoi ajoutant

le capital (réduit au dénominateur d²)

l’r du 2^d. terme sera $\scriptstyle {\frac {ad^{2}+2aid+ai^{2}}{d^{2}}}=a\times \left({\frac {d+i}{d}}\right)^{2}$.

En procédant de la même maniere, on trouvera pour l’r du troisieme terme

$\scriptstyle {\frac {ad^{3}+3aid^{2}+3ai^{2}d+ai^{3}}{d^{3}}}=a\times \left({\frac {d+i}{d}}\right)^{3}$.

Sans aller plus loin, on voit que les divers résultats trouvés & à trouver, forment une progression géométrique, dont a est le premier terme, & $\scriptstyle {\frac {d+i}{d}}$ (que pour plus de briéveté je nommerai p) l’exposant. Le terme de la progression où p est élevé à la puissance dont l’exposant est 1, sera l’r du tems i ; celui où p est élevé à la puissance dont l’exposant est 2, sera l’r du tems 2 ; & en général le terme de la progression où p est élevé à la puissance dont l’exposant est t, sera l’r de ce tems t. D’où naissent, pour toutes les manieres différentes dont une même question peut être retournée, les formules suivantes.

9.	$\scriptstyle r=ap^{t}$… ou bien	$\scriptstyle \log r=\log a+{\overline {\log p\times t}}$.
	$\scriptstyle a={\frac {r}{p^{t}}}$	$\scriptstyle \log a=\log r-{\overline {\log p\times t}}$.
	$\scriptstyle p={\sqrt[{t}]{\frac {r}{a}}}$	$\scriptstyle \log p=\textstyle {\frac {\log r-\log a}{t}}$.
	$\scriptstyle t=$	$\textstyle {\frac {\log r-\log a}{\log p}}$.

10. Exemple I. 1000 livres ont été prêtées à 6

pour % par an d’intérêt redoublé (& c’est ainsi qu’il faudra l’entendre dans tout le reste de cet article) : combien sera-t-il dû au bout de 3 ans, tant en capital qu’intérêts ?

	$\scriptstyle a=1000$	livres.
Faisant	$\scriptstyle d=100$	$\left.{\begin{matrix}\ \\\ \end{matrix}}\right\}\scriptstyle {\frac {d+i}{d}}=p={\frac {106}{100}}={\frac {53}{50}}$ ;
	$\scriptstyle i=6$
	$\scriptstyle t=3$	& substituant, on trouve

$\scriptstyle r=1000\times {\frac {148877}{125000}}={\frac {148877}{125}}=1191$ liv. $\scriptstyle {\frac {2}{125}}$

Exemple II. On rend au bout de 3 ans 1191 livres $\scriptstyle {\frac {2}{125}}$ pour 1000 liv. prêtées à intérêt : quel étoit cet intérêt ?

C’est p qu’il faut trouver. Or la troisieme formule donne… $\scriptstyle \log p={\frac {\log r-\log a}{t}}$.

Substituant… $\scriptstyle \log p={\frac {3,07591759-3,00000000}{3}}={\frac {0,07591759}{3}}=0,0253059$ : puisque 0.0253059 est le logarithme de p ou de $\scriptstyle {\frac {d+i}{d}}$, ajoutant le logarithme de d ou de 100, la somme 2,0253059 est le logarithme de $\scriptstyle d+i$. Mais à ce logarithme répond dans la table le nombre 106 : donc $\scriptstyle d+i=106$ ; donc $\scriptstyle i=106-d=106-100=6$ ; donc l’intérêt étoit à 6 pour %.

Comme on peut se trouver embarrassé quand t est une fraction, j’ajoute un exemple pour ce cas-là.

Exemple III. 1000 livres ont été prêtées à 7 $\scriptstyle {\frac {1}{2}}$ pour % par an d’intérêt : combien sera-t-il dû au bout de 3 ans sept mois 15 jours ?

$\scriptstyle a=1000$	livres.
$\scriptstyle d=100$	$\left.{\begin{matrix}\ \\\ \end{matrix}}\right\}\scriptstyle {\frac {d+i}{d}}=p=\textstyle {\frac {107{\frac {1}{2}}}{100}}\scriptstyle ={\frac {215}{200}}={\frac {41}{40}}$.
$\scriptstyle i=7{\frac {1}{2}}$
$\scriptstyle t={\frac {1320}{365}}={\frac {264}{73}}$ années

(t a été réduit en la plus petite espece, c’est-à-dire en jours ou 365^emes d’année, & i la fraction résultante réduite elle-même à une plus simple par la division du numérateur, & du dénominateur par 5).

Le calcul (effrayant & presque impratiquable par la voie ordinaire) devient très-simple & très-facile par les logarithmes $\scriptstyle \log r=\log a+{\overline {\log p\times t}}$. Substituant, on trouve $\scriptstyle \log r=3,0000000+{\overline {0,0314085\times {\frac {264}{73}}}}=3,0000000+0,1135869=3,1135869$. Or à ce logarithme répond dans la table le nombre $\scriptstyle 1298{\frac {29}{30}}$… c’est en livres la valeur de r.

11. Les questions ordinaires qu’on peut faire sur l’intérêt, se résoudront toujours avec facilité par les regles qu’on vient de voir : mais on y pourroit mêler telles circonstances qui rendroient ces regles insuffisantes. Par exemple,

12. Un homme doit une somme actuellement exigible ; son créancier consent qu’il la lui rende en un certain nombre de payemens égaux, qui se feront, le premier dans un an, le second dans deux, & ainsi de suite, & dans lesquels entreront les intérêts (sur le pié d’un denier convenu) à raison du retardement de chaque payement : on demande quel sera chaque payement égal ?

(Cette question au reste n’est pas de pure curiosité ; cette maniere de faire le commerce d’argent est, dit-on, fort d’usage en Angleterre).

13. C’est l’égalité des payemens qui fait ici toute la difficulté. Pour la lever (conservant d’ailleurs les appellations précédentes), à t qui désignoit le tems, je substitue n qui exprimera le nombre des payemens égaux.

Il est clair que le premier payement trouvé, tout est trouvé. Or ce premier payement est composé de