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avec

(59)

\Psi (\tau )=0,576\tau ^{2}-1,421\tau ^{3}+3,372\tau ^{4}-6,085\tau ^{5}+3,579\tau ^{6}

^[1].

↑ On peut se demander ce qu’auraient été, au lieu de (46), les valeurs expérimentales de

\Phi (\tau ),

y compris même le résultat d’extrapolation

\Phi (1)=2,41

indiqué tout à l’heure, si les anciennes expériences de M. Bazin avaient conduit à prendre du premier coup la nouvelle valeur 48,6 de

k\ ;

ce qui aurait donné, dans le troisième membre de (45),

21\tau ^{3},

comme terme de première approximation. Il suffit, pour le voir, de retrancher

1,91\tau ^{3}

des précédentes valeurs de

\Psi (\tau ),

et l’on a sensiblement, au lieu du Tableau (46),

(46 bis)

\left\{{\begin{aligned}{\text{Pour }}\tau &=0\ \ 0,125\ \ 0,250\ \ 0,375\ \ 0,500\ \ 0,625\ \ 0,750\ \ 0,875\ \ 0,9375\ \ 1,\\{\text{  »  }}\Phi (\tau )&=0\ \ 0,34\ \ 0,74\ \ 1,08\ \ 1,26\ \ 1,00\ \ -0,51\ \ -1,86\ \ 1,23\ \ 0,50.\end{aligned}}\right.

L’écart $\Phi (\tau )$ maximum de l’expérience d’avec le résultat théorique de première approximation, ne se produit plus à la paroi, pour $\tau =1,$ mais aux ${\tfrac {7}{8}}$ environ des rayons, et il correspond, dans le tuyau expérimenté, à la fraction $0,0182\times 1,86=0,03385$ de la vitesse moyenne, c’est-à-dire sensiblement au trentième. Avec l’ancienne valeur 21 du coefficient, la fraction analogue était, à la paroi, $0,0182\times 2,41=0,04386,$ ou ${\tfrac {1}{23}}$ environ de la vitesse moyenne.
On pourrait déterminer $k$ de manière, non pas à annuler, comme dans (58) et (46 bis), la moyenne des valeurs de $\Psi (\tau )$ ou de $\Phi (\tau ),$ mais à réduire autant que possible leurs fortes valeurs, en égalant le plus grand écart $\Psi (\tau )$ positif, celui qui a lieu pour $\tau =0,5,$ au plus grand écart négatif (se présentant pour $\tau =0,875$ ). Il vient ainsi $k=47.$ En admettant que cette valeur eût été justement celle de première approximation, l’on aurait, comme troisième membre de (45), $22,16\tau ^{3}+\Phi (\tau ),$ et les écarts $\Phi (\tau )$ constituant la seconde approximation seraient ceux du Tableau (46) diminués de $1,16\tau ^{3},$ savoir les suivants :

(46 ter)

\left\{{\begin{aligned}{\text{Pour }}\tau &=0\ \ 0,125\ \ 0,250\ \ 0,375\ \ 0,500\ \ 0,625\ \ 0,750\ \ 0,875\ \ 0,9375\ \ 1,\\{\text{  »  }}\Phi (\tau )&=0\ \ 0,34\ \ 0,75\ \ 1,12\ \ 1,36\ \ 1,19\ \ -0,19\ \ -1,36\ \ -0,61\ \ 1,25.\end{aligned}}\right.

Ici, les plus fortes valeurs $\Phi (\tau )$ ne correspondent qu’à un écart, sur les vitesses observées, égal à la fraction $0,0182\times 1,36=0,02475,$ ou inférieur au ${\tfrac {1}{40}}$ de la vitesse moyenne $\mathrm {U} .$ D’ailleurs le coefficient ${\tfrac {1}{2}}k$ figurant dans la seconde formule (37) prend la valeur 23,5, très voisine de celle, 23,7, à laquelle M. Bazin avait été conduit (Recherches hydrauliques, p. 233) et qu’il avait supposée pouvoir être portée jusqu’à 24. Enfin, vu (56), les premières formules (37) et (42) donnent alors 4,81 pour l’écart entre les deux valeurs de l’inverse de ${\sqrt {b}}$ dans les sections rectangulaire large et circulaire.
Ces résultats paraissent à peu près aussi satisfaisants que ceux du texte. Mais l’hypothèse d’une valeur moyenne nulle pour $\Psi (\tau )$ semble être rationnellement préférable, comme propre à donner un coefficient $k$ moins influencé par les erreurs accidentelles d’observation.

[1] On peut se demander ce qu’auraient été, au lieu de (46), les valeurs expérimentales de $\Phi (\tau ),$ y compris même le résultat d’extrapolation $\Phi (1)=2,41$ indiqué tout à l’heure, si les anciennes expériences de M. Bazin avaient conduit à prendre du premier coup la nouvelle valeur 48,6 de $k\ ;$ ce qui aurait donné, dans le troisième membre de (45), $21\tau ^{3},$ comme terme de première approximation. Il suffit, pour le voir, de retrancher $1,91\tau ^{3}$ des précédentes valeurs de $\Psi (\tau ),$ et l’on a sensiblement, au lieu du Tableau (46),

(46 bis) $\left\{{\begin{aligned}{\text{Pour }}\tau &=0\ \ 0,125\ \ 0,250\ \ 0,375\ \ 0,500\ \ 0,625\ \ 0,750\ \ 0,875\ \ 0,9375\ \ 1,\\{\text{ » }}\Phi (\tau )&=0\ \ 0,34\ \ 0,74\ \ 1,08\ \ 1,26\ \ 1,00\ \ -0,51\ \ -1,86\ \ 1,23\ \ 0,50.\end{aligned}}\right.$

L’écart $\Phi (\tau )$ maximum de l’expérience d’avec le résultat théorique de première approximation, ne se produit plus à la paroi, pour $\tau =1,$ mais aux ${\tfrac {7}{8}}$ environ des rayons, et il correspond, dans le tuyau expérimenté, à la fraction $0,0182\times 1,86=0,03385$ de la vitesse moyenne, c’est-à-dire sensiblement au trentième. Avec l’ancienne valeur 21 du coefficient, la fraction analogue était, à la paroi, $0,0182\times 2,41=0,04386,$ ou ${\tfrac {1}{23}}$ environ de la vitesse moyenne.
On pourrait déterminer $k$ de manière, non pas à annuler, comme dans (58) et (46 bis), la moyenne des valeurs de $\Psi (\tau )$ ou de $\Phi (\tau ),$ mais à réduire autant que possible leurs fortes valeurs, en égalant le plus grand écart $\Psi (\tau )$ positif, celui qui a lieu pour $\tau =0,5,$ au plus grand écart négatif (se présentant pour $\tau =0,875$ ). Il vient ainsi $k=47.$ En admettant que cette valeur eût été justement celle de première approximation, l’on aurait, comme troisième membre de (45), $22,16\tau ^{3}+\Phi (\tau ),$ et les écarts $\Phi (\tau )$ constituant la seconde approximation seraient ceux du Tableau (46) diminués de $1,16\tau ^{3},$ savoir les suivants :

(46 ter) $\left\{{\begin{aligned}{\text{Pour }}\tau &=0\ \ 0,125\ \ 0,250\ \ 0,375\ \ 0,500\ \ 0,625\ \ 0,750\ \ 0,875\ \ 0,9375\ \ 1,\\{\text{ » }}\Phi (\tau )&=0\ \ 0,34\ \ 0,75\ \ 1,12\ \ 1,36\ \ 1,19\ \ -0,19\ \ -1,36\ \ -0,61\ \ 1,25.\end{aligned}}\right.$

Ici, les plus fortes valeurs $\Phi (\tau )$ ne correspondent qu’à un écart, sur les vitesses observées, égal à la fraction $0,0182\times 1,36=0,02475,$ ou inférieur au ${\tfrac {1}{40}}$ de la vitesse moyenne $\mathrm {U} .$ D’ailleurs le coefficient ${\tfrac {1}{2}}k$ figurant dans la seconde formule (37) prend la valeur 23,5, très voisine de celle, 23,7, à laquelle M. Bazin avait été conduit (Recherches hydrauliques, p. 233) et qu’il avait supposée pouvoir être portée jusqu’à 24. Enfin, vu (56), les premières formules (37) et (42) donnent alors 4,81 pour l’écart entre les deux valeurs de l’inverse de ${\sqrt {b}}$ dans les sections rectangulaire large et circulaire.
Ces résultats paraissent à peu près aussi satisfaisants que ceux du texte. Mais l’hypothèse d’une valeur moyenne nulle pour $\Psi (\tau )$ semble être rationnellement préférable, comme propre à donner un coefficient $k$ moins influencé par les erreurs accidentelles d’observation.

[1]