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» 51. Quand on prend, avec Tadini, $b=0,0004$ dans la section rectangulaire large, la première équation (37), où ${\tfrac {1}{3}}k=16,2,$ donne, pour l’inverse de ${\sqrt {B}},$ $50-16,2=33,8\ ;$ et il vient $\mathrm {B} =0,0008753.$ Alors le coefficient ${\tfrac {\sqrt {B}}{k}},$ dans les expressions (15) à (17) de $\varepsilon ,$ est 0,0006088. Quand à $b$ dans la section circulaire, il a pour valeur 0,0003393, ou 0,00034 en nombre rond. Enfin, d’après la relation $\mathrm {B} u_{0}^{2}=b\mathrm {U} ^{2}$ et les dernières formules (37), (60), les quotients de la vitesse moyenne $\mathrm {U}$ et de la vitesse à la paroi $u_{0}$ par la vitesse maxima $u_{m}$ sont alors, respectivement, 0,86 et 0,58 pour la section rectangulaire large, 0,81 et 0,50 pour la section circulaire ou demi-circulaire.

§ XIV. — Expression la plus approchée possible du coefficient $\varepsilon$ de frottement dans les tuyaux circulaires.

» 52. L’expression empirique (59) de $\Psi (\tau ),$ destinée à relier le mieux possible de faibles résultats d’observation atteignant presque en petitesse la limite des erreurs admissibles, ne peut guère être différentiée, vu le peu de précision avec lequel s’y trouve déterminée en chaque point la direction de la courbe qui la représente ; et il est, surtout, presque illusoire d’extrapoler sa dérivée jusqu’à la limite $\tau =1,$ où $\Psi (\tau )$ varie le plus vite. Faisons-le cependant, pour obtenir tout au moins quelques indications sur la fonction $\psi (\tau )$ que définit (47) et, par suite, sur le coefficient $\varepsilon$ de frottement intérieur, dont la valeur égale, d’après (16), le quotient, par $\tau +\psi (\tau ),$ de celle qui est relative à un canal rectangulaire large pour même vitesse à la paroi et même rayon moyen. Il viendra

(61)

$\psi (\tau )=0,576-2,131\tau +6,744\tau ^{2}-15,213\tau ^{3}+10,738\tau ^{4}.$

» À la limite $\tau =1,$ le calcul donne $\psi (\tau )=0,71,$ valeur bien grande pour être facilement acceptable, puisqu’elle excède les ${\tfrac {2}{3}}$ de celle, 1, que fournit dans le dénominateur de $\varepsilon ,$ le terme principal $\tau .$ Quoi qu’il en soit, l’expression de $\varepsilon$ sera, en appelant $\varepsilon _{0}$ sa valeur dans un canal rectangulaire large pour même rayon moyen et même vitesse à la paroi,

(62)

$\varepsilon ={\frac {\varepsilon _{0}}{\tau +\psi (\tau )}}={\frac {\varepsilon _{0}}{0,576-1,131\tau +6,744\tau ^{2}-15,213\tau ^{3}+10,738\tau ^{4}}}.$