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» 53. Pour les valeurs de $r$ inscrites au Tableau (46), mais disposées dans l’ordre inverse et avec adjonction de $\tau =1,$ $\tau =0,8,$ $\tau =0,1,$ $\tau =0,$ savoir,

pour

\tau =1\ \ 0,9375\ \ 0,875\ \ 0,8\ \ 0,750\ \ 0,625\ \ 0,500\ \ 0,375\ \ 0,250\ \ 0,125\ \ 0,1\ \ 0,

le dénominateur de (62) devient respectivement

\tau +\psi (\tau )=1,71\ \ 1,20\ \ 0,85\ \ 0,60\ \ 0,50\ \ 0,43\ \ 0,47\ \ 0,51\ \ 0,52\ \ 0,51\ \ 0,52\ \ 0,58.

» On voit que ses variations sont assez complexes : supérieur à $\tau ,$ des ${\tfrac {7}{10}}$ environ, pour $\tau =1,$ c’est-à-dire sur la paroi, il décroît, d’abord même très rapidement, dès qu’on se dirige vers l’axe, égale l’unité dans le voisinage de $\tau =0,9$ et devient inférieur à $\tau$ vers $\tau =0,88,$ puis minimum vers $\tau =0,6,$ pour surpasser de nouveau $\tau$ vers $\tau =0,48,$ ou un peu après le milieu $\tau =0,5$ des rayons, et ne plus beaucoup varier ensuite, tout en augmentant cependant, surtout à l’approche de l’axe $\tau =0,$ et abstraction faite d’un maximum et d’un minimum à peine saisissables vers $\tau =0,250$ et $\tau =0,125$ ^[1]. On pourrait presque le regarder comme constant et égal à ${\tfrac {1}{2}}$ depuis $\tau =0,75,$ ou même un peu avant, jusqu’à $\tau =0,$ c’est-à-dire dans toute une région centrale d’une aire équivalente aux ${\tfrac {3}{5}}$ environ de la section totale, tandis qu’il éprouverait un accroissement rapide, dans le rapport de 0,5 à 1,7, ou de 5 à 17, sur tout le pourtour de cette région centrale, savoir dans l’espace occupé par le dernier quart des rayons à partir de l’axe ou par leur premier quart à partir de la paroi.

» Donc le coefficient $\varepsilon$ de frottement intérieur, inverse de $\tau +\psi (\tau ),$ ne serait guère, à la paroi, que les ${\tfrac {10}{17}}$ de sa valeur $\varepsilon _{0}$ relative à section rectangulaire large ; mais il grandirait très vite à partir de la paroi, au point d’atteindre $\varepsilon _{0}$ vers le premier dixième de la longueur des rayons, et d’excéder $2\varepsilon _{0}$ sur un certain parcours, depuis leur premier quart jusque après leur milieu (vers $\tau =0,4$ ), en se maintenant supérieur à sa valeur approximative, exprimée par la seconde formule (15), depuis $\tau 0,88$ environ jusqu’à $\tau =0,48$ environ. Au delà, c’est-à-dire sur presque tout le quart central de l’aire totale des sections, non seulement il serait au-

↑ Il n’a pas d’ailleurs d’autres maxima et minima que les trois signalés ici : car sa dérivée, du troisième degré en $\tau$ et par suite incapable de s’annuler plus de trois fois, prend les valeurs respectives, à signes alternés, -0,196, 0,010, -0,428, 1,433, pour $\tau =0,10,$ $\tau =0,15,$ $\tau =0,50,$ $\tau =0,75\ ;$ donc ces valeurs de $\tau$ séparent bien les trois racines pour lesquelles se produisent les maxima et minima de la fonction $\tau +\psi (\tau )$ trouvée.

[1] Il n’a pas d’ailleurs d’autres maxima et minima que les trois signalés ici : car sa dérivée, du troisième degré en $\tau$ et par suite incapable de s’annuler plus de trois fois, prend les valeurs respectives, à signes alternés, -0,196, 0,010, -0,428, 1,433, pour $\tau =0,10,$ $\tau =0,15,$ $\tau =0,50,$ $\tau =0,75\ ;$ donc ces valeurs de $\tau$ séparent bien les trois racines pour lesquelles se produisent les maxima et minima de la fonction $\tau +\psi (\tau )$ trouvée.

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