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Schwere, Elektricität und Magnetismus:188

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Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
Seite 174
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Dritter Abschnitt. §. 43.


und hierin ist der Reihe nach zu setzen. Dann hat man in (6) ein System von simultanen Differentialgleichungen, durch deren Integration die Grössen als Functionen von gefunden werden.


§. 43.
Der Satz von der Erhaltung der lebendigen Kraft hergeleitet aus dem Princip des Lagrange.


 Aus dem Princip des Lagrange lässt sich die Gültigkeit des Satzes von der Erhaltung der lebendigen Kraft herleiten, unter der Voraussetzung, dass das Potential die Variable nicht explicite enthält. Da der Satz von der Erhaltung der lebendigen Kraft in der Gleichung sich ausspricht:



so kommt es nur darauf an, zu beweisen, dass



ist. Nun berechnet sich aber


(1)


wenn , wie vorausgesetzt wird, die Variable nicht explicite enthält. Wir haben im vorigen Paragraphen gesehen, dass eine homogene Function zweiten Grades von den Grössen ist, also:


(2)


 Hier sollen und irgend welche ganzen Zahlen aus der Reihe sein. Jeder Werth, den annehmen kann, soll mit jedem Werthe von einmal zusammengestellt, und die entstehenden einzelnen Ausdrücke sollen addirt werden. Danach ist eine Summe von Gliedern, von denen jedes seinen eigenen Coefficienten hat. Diese Coefficienten, für welche wir allgemein die Relation feststellen, sind Functionen der Grössen .

 Aus der Gleichung (2) ergibt sich durch Differentiation