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	Carl Gottfried Neumann: Die elektrischen Kräfte

Geometrische Unterscheidungen.

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     Die Determinante $\Delta \,$ kann also, in stetiger Weise und ohne in­zwischen Null zu werden, in $+1\,$ oder in $-1\,$ übergeführt werden, jenachdem das gegebene Strahlenbündel $r_{1},r_{2},r_{3}\,$ von positivem oder negativem Charakter ist. Hieraus aber folgt sofort, dass jene Deter­minante $\Delta \,$ auch schon während ihres ursprünglichen Zustandes im erstern Fall einen positiven, im letztern einen negativen Werth be­sessen haben muss. Wir gelangen daher zu folgendem Ergebniss:

     Satz. Der Charakter eines beliebig gegebenen Strahlen­bündels

$r_{1},r_{2},r_{3}\,$

wird jederzeit positiv oder negativ sein, jenachdem die zugehörige Determinante

$(7.)\,$

${\begin{vmatrix}\mathrm {A} _{1}&\mathrm {A} _{2}&\mathrm {A} _{3}\\\mathrm {B} _{1}&\mathrm {B} _{2}&\mathrm {B} _{3}\\\Gamma _{1}&\Gamma _{2}&\Gamma _{3}\end{vmatrix}}\,$

einen positiven oder negativen Werth besitzt.

     Es ist ferner das analytische Kriterium zu eruiren, für zwei Linien $g,h,\,$ welche zu einander positiv sind [vergl. (2.)]. Die Linie $g\,$ mag durch zwei Puncte markirt, und demgemäss mit $PQ\,$ bezeichnet sein; ebenso $h\,$ bezeichnet sein mit $P'Q'.\,$ Liegen nun $PQ\,$ und $P'Q'\,$ positiv zu einander, so wird (wie die unmittelbare Anschauung zeigt) das Strahlenbündel $PQ,PP',PQ'\,$ ebenfalls von positivem Charakter sein, was angedeutet sein mag durch:

$(8.)\,$

${\text{Char}}(PQ,PP',PQ')={\text{pos.}}\,$

Sind $A,B,C\,$ und $A',B',C'\,$ die Coordinaten von $P\,$ und $P',\,$ ferner $\mathrm {A} ,\mathrm {B} ,\Gamma \,$ und $\mathrm {A} ',\mathrm {B} ',\Gamma '\,$ die Richtungscosinus von $PQ\,$ und $P'Q',\,$ so werden

$A'-A,\ B'-B,\ C'-C\,$

die rechtwinkligen Projectionen von $PP',\,$ und

$A'-A+l'\mathrm {A} ',\ B'-B+l'\mathrm {B} ',\ C'-C+l'\Gamma '\,$

die rechtwinkligen Projectionen von $PQ'\,$ vorstellen; dabei ist unter $l'\,$ eine positive Zahl, nämlich die Länge von $P'Q'\,$ zu verstehen. Aus (8.) folgt daher durch Anwendung des Satzes (7.) sofort:

${\begin{vmatrix}\mathrm {A} &A'-A&A'-A+l'\mathrm {A} '\\\mathrm {B} &B'-B&B'-B+l'\mathrm {B} '\\\Gamma &C'-C&C'-C+l'\Gamma '\end{vmatrix}}={\text{pos.}},\,$

oder was dasselbe ist:

${\begin{vmatrix}\mathrm {A} &A'-A&\mathrm {A} '\\\mathrm {B} &B'-B&\mathrm {B} '\\\Gamma &C'-C&\Gamma '\end{vmatrix}}={\text{pos.}},\,$

Empfohlene Zitierweise:
Carl Gottfried Neumann: Die elektrischen Kräfte, Leipzig 1873, Seite 85. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:Carl_Gottfried_Neumann_-_Die_elektrischen_Kr%C3%A4fte_103.jpg&oldid=- (Version vom 18.8.2016)