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	Carl Gottfried Neumann: Die elektrischen Kräfte

Fünf Sätze über Curven-Integrale.

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dargestellt sein durch den Ausdruck:

$(24.d)\,$

$4\lambda \lambda _{1}\left\lbrace {\begin{aligned}f^{\mathrm {II} }(\alpha \xi +\beta \eta +\gamma \zeta )(\alpha _{1}\xi +\beta _{1}\eta +\gamma _{1}\zeta )\\-(f^{\mathrm {II} }r^{2}+f^{\mathrm {I} })(\alpha \alpha _{1}+\beta \beta _{1}+\gamma \gamma _{1})\end{aligned}}\right\rbrace .\,$

Dieser Ausdruck ist bezogen zu denken auf irgend zwei Puncte $m\,$ und $m_{1},\,$ welche auf $\lambda \,$ und $\lambda _{1}\,$ beliebig gewählt sein können; dabei haben $\lambda ,\alpha ,\beta ,\gamma \,$ in Bezug auf die eine Curve die bekannte (im vorhergehenden Satz explicirte) Bedeutung, und $\lambda _{1},\alpha _{1},\beta _{1},\gamma _{1}\,$ die analoge Bedeutung in Bezug auf die andere Curve.

     Beweis. - Das vorgelegte Integral

$(25.)\,$

$K={\mathit {\Sigma \Sigma }}\ [f\mathrm {D} x_{1}\cdot \mathrm {D} x+f\mathrm {D} y_{1}\cdot \mathrm {D} y+f\mathrm {D} z_{1}\cdot \mathrm {D} z]\,$

nimmt, falls man mit Hülfe des vorhergehenden Satzes (17.a, b, c) zunächst die Integration nach $\mathrm {D} x,\mathrm {D} y,\mathrm {D} z\,$ ausführt, folgende Gestalt an:

$(26.)\,$

$K=\lambda \ \cdot {\mathit {\Sigma }}\left[{\frac {\partial [f(\gamma \mathrm {D} y_{1}-\beta \mathrm {D} z_{1})]}{\partial x}}+{\frac {\partial [f(\alpha \mathrm {D} z_{1}-\gamma \mathrm {D} x_{1})]}{\partial y}}+{\frac {\partial [f(\beta \mathrm {D} x_{1}-\alpha \mathrm {D} y_{1})]}{\partial z}}\right];\,$

hierfür kann geschrieben werden:

$(27.)\,$

$K=\lambda \cdot {\mathit {\Sigma }}\ [U_{1}\mathrm {D} x_{1}+V_{1}\mathrm {D} y_{1}+W_{1}\mathrm {D} z_{1}],\,$

wo alsdann $U_{1},V_{1},W_{1}\,$ die Bedeutungen haben:

$(28.)\,$

${\begin{aligned}U_{1}&=\beta \ {\frac {\partial f}{\partial z}}-\gamma \ {\frac {\partial f}{\partial y}},\\V_{1}&=\gamma \ {\frac {\partial f}{\partial x}}-\alpha \ {\frac {\partial f}{\partial z}},\\W_{1}&=\alpha \ {\frac {\partial f}{\partial y}}-\beta \ {\frac {\partial f}{\partial x}}.\end{aligned}}\,$

     Bringt man nun die in (27.) noch vorhandene Integration ebenfalls zur Ausführung, wiederum mit Hülfe des Satzes (17.a, b, c); so erhält man:

$(29.)\,$

$K=\lambda \lambda _{1}\left[{\frac {\partial (\gamma _{1}V_{1}-\beta _{1}W_{1})}{\partial x_{1}}}+{\frac {\partial (\alpha _{1}W_{1}-\gamma _{1}U_{1})}{\partial y_{1}}}+{\frac {\partial (\beta _{1}U_{1}-\alpha _{1}V_{1})}{\partial z_{1}}}\right].\,$

     Aus (28.) ergibt sich:

$\gamma _{1}V_{1}-\beta _{1}W_{1}=(\alpha \alpha _{1}+\beta \beta _{1}+\gamma \gamma _{1}){\frac {\partial f}{\partial x}}-\alpha \left(\alpha _{1}{\frac {\partial f}{\partial x}}+\beta _{1}{\frac {\partial f}{\partial y}}+\gamma _{1}{\frac {\partial f}{\partial z}}\right),\,$

also mit Rücksicht auf (24.a, b):

$\gamma _{1}V_{1}-\beta _{1}W_{1}=[(\alpha \alpha _{1}+\beta \beta _{1}+\gamma \gamma _{1})\ \xi -\alpha (\alpha _{1}\xi +\beta _{1}\eta +\gamma _{1}\zeta )]\ 2f^{\mathrm {I} }.\,$

Empfohlene Zitierweise:
Carl Gottfried Neumann: Die elektrischen Kräfte, Leipzig 1873, Seite 91. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:Carl_Gottfried_Neumann_-_Die_elektrischen_Kr%C3%A4fte_109.jpg&oldid=- (Version vom 17.8.2016)