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	Carl Gottfried Neumann: Die elektrischen Kräfte

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Fünf Sätze über Curven-Integrale.

Hieraus folgt durch Differentiation nach $x_{1}:\,$

$(30.)\,$

${\begin{aligned}{\frac {\partial (\gamma _{1}V_{1}-\beta _{1}W_{1})}{\partial x_{1}}}=[(\alpha \alpha _{1}+\beta \beta _{1}+\gamma \gamma _{1})\xi -\alpha (\alpha _{1}\xi +\beta _{1}\eta +\gamma _{1}\zeta )](-4\xi f^{\mathrm {II} })\\+[(\alpha \alpha _{1}+\beta \beta _{1}+\gamma \gamma _{1})-\alpha \alpha _{1}](-2f^{\mathrm {I} });\end{aligned}}\,$

es ist nämlich zu beachten, dass z.B. $\xi =x-x_{1};\,$ mithin ${\frac {\partial \xi }{\partial x_{1}}}=-1\,$ ist. Bildet man die mit (30.) analogen Ausdrücke, und substituirt man alle diese Ausdrücke in (29.) so ergiebt sich sofort:

$(31.)\,$

$K=\lambda \lambda _{1}\left\lbrace {\begin{aligned}-4f^{\mathrm {II} }(\alpha \alpha _{1}+\beta \beta _{1}+\gamma \gamma _{1})r^{2}+4f^{\mathrm {II} }(\alpha \xi +\cdots )(\alpha _{1}\xi +\cdots )\\-4f^{\mathrm {I} }(\alpha \alpha _{1}+\beta \beta _{1}+\gamma \gamma _{1})\end{aligned}}\right\rbrace .\,$

Dies aber ist der behauptete Ausdruck (24.d).

     Beispiel. — Für den Specialfall

$(32.)\,$

$f={\frac {1}{\sqrt {R}}}={\frac {1}{r}}\,$

nehmen die Differentialquotienten (24.b) folgende Werthe an:

${\begin{aligned}f^{\mathrm {I} }&=-{\frac {1}{2R{\sqrt {R}}}}=-{\frac {1}{2r^{3}}},\\f^{\mathrm {II} }&=+{\frac {3}{4R^{2}{\sqrt {R}}}}=+{\frac {3}{4r^{5}}};\end{aligned}}\,$

woraus folgt:

$f^{\mathrm {II} }r^{2}+f^{\mathrm {I} }={\frac {1}{4r^{3}}}.\,$

In diesem Specialfalle gewinnt also unser Satz (24.c, d) folgende Gestalt:

$(33.)\,$

${\begin{aligned}&{\mathit {\Sigma }}{\mathit {\Sigma }}{\frac {\mathrm {D} x\mathrm {D} x_{1}+\mathrm {D} y\mathrm {D} y_{1}+\mathrm {D} z\mathrm {D} z_{1}}{r}}\\=\lambda \lambda _{1}&\left({\frac {3(\alpha \xi +\beta \eta +\gamma \zeta )(\alpha _{1}\xi +\beta _{1}\eta +\gamma _{1}\zeta )}{r^{5}}}-{\frac {(\alpha \alpha _{1}+\beta \beta _{1}+\gamma \gamma _{1})}{r^{3}}}\right);\end{aligned}}\,$

oder, was dasselbe ist, folgende:

$(34.)\,$

${\begin{aligned}&{\mathit {\Sigma \Sigma }}\ {\frac {\mathrm {D} x\mathrm {D} x_{1}+\mathrm {D} y\mathrm {D} y_{1}+\mathrm {D} z\mathrm {D} z_{1}}{r}}\\=\lambda \lambda _{1}&\left({\frac {3[\alpha (x-x_{1})+\cdots ][\alpha _{1}(x-x_{1})+\cdots ]}{r^{5}}}-{\frac {[\alpha \alpha _{1}+\cdots ]}{r^{3}}}\right).\end{aligned}}\,$

     Die rechte Seite dieser Formel, in welcher unter $x,y,z\,$ und $x_{1},y_{1},z_{1}\,$ die Coordinaten der Puncte $m\,$ und $m_{1}\,$ unter $r\,$ die gegen -

Empfohlene Zitierweise:
Carl Gottfried Neumann: Die elektrischen Kräfte, Leipzig 1873, Seite 92. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:Carl_Gottfried_Neumann_-_Die_elektrischen_Kr%C3%A4fte_110.jpg&oldid=- (Version vom 18.8.2016)