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	Carl Gottfried Neumann: Die elektrischen Kräfte

Gesetz) auf einander ausüben. Durch Addition der beiderlei Werthe von $dQ$, in (7.) und (8.), erhält man:

(9.)	$2dQ=\Sigma \Sigma \ {\mathsf {D}}s_{0}{\mathsf {D}}s_{1}(d\Omega -{\mathsf {P}}dr)+\Sigma \Sigma \ \left({\mathsf {D}}s_{0}\Delta s_{1}\Omega +\Delta s_{0}{\mathsf {D}}s_{1}\Omega \right);$

oder anders geschrieben:

(10.)

$J_{1}{\frac {\Sigma \Sigma \ {\mathsf {D}}s_{0}{\mathsf {D}}s_{1}(d\Omega -{\mathsf {P}}dr)}{2}}=J_{1}dQ-J_{1}{\frac {\Sigma \Sigma \left({\mathsf {D}}s_{0}\Delta s_{1}\Omega +\Delta s_{0}{\mathsf {D}}s_{1}\Omega \right)}{2}},$

oder falls $J_{1}\cdot \Sigma \Sigma \ {\mathsf {D}}s_{0}\Delta s_{1}\Omega$ auf beiden Seiten addirt wird:

(11.)

${\begin{array}{l}J_{1}\left[{\frac {\Sigma \Sigma \ {\mathsf {D}}s_{0}{\mathsf {D}}s_{1}(d\Omega -{\mathsf {P}}dr)}{2}}+\Sigma \Sigma \ {\mathsf {D}}s_{0}\Delta s_{1}\Omega \right]\\\\\qquad =J_{1}dQ+J_{1}{\frac {\Sigma \Sigma \left({\mathsf {D}}s_{0}\Delta s_{1}\Omega -\Delta s_{0}{\mathsf {D}}s_{1}\Omega \right)}{2}}.\end{array}}$

Soviel in Betreff des Gliedes erster Zeile in (5.).

Es handelt sich nun ferner um eine gewisse Umgestaltung des dortigen Gliedes zweiter Zeile. Aehnlich wie früher (pag. 58, 59) mag die Entfernung $r$ zweier Elemente der Ringe $A$ und $B$ aufgefasst werden als eine Function von vier Argumenten

$s_{0},\ \tau _{0},\ s_{1},\ \tau _{1},$

der Art, dass die Zeit, je nachdem sie in den Coordinaten des zu $A$ oder zu $B$ gehörigen Elements enthalten ist, mit $\tau _{0}$ oder $\tau _{1}$ bezeichnet, und die Bogenlänge $s_{0}$ oder $s_{1}$ jedesmal längs desjenigen speciellen Bahnstückes gerechnet wird, dem das Element angehört. Alsdann ist $\Theta _{0}={\frac {\partial r}{\partial s_{0}}},\ \Theta _{1}=-{\frac {\partial r}{\partial s_{1}}}$, mithin:

(12.)

${\begin{array}{ll}\sigma \left(\Theta _{0}d\Theta _{1}-\Theta _{1}d\Theta _{0}\right)&=\sigma \left[{\frac {\partial r}{\partial s_{1}}}d\left({\frac {\partial r}{\partial s_{0}}}\right)-{\frac {\partial r}{\partial s_{0}}}d\left({\frac {\partial r}{\partial s_{1}}}\right)\right],\\\\&=\sigma \left[{\frac {\partial r}{\partial s_{1}}}{\frac {\partial ^{2}r}{\partial s_{0}\partial t}}-{\frac {\partial r}{\partial s_{0}}}{\frac {\partial ^{2}r}{\partial s_{1}\partial t}}\right]dt,\end{array}}$

wo offenbar ${\frac {\partial }{\partial t}}={\frac {\partial }{\partial \tau _{0}}}+{\frac {\partial }{\partial \tau _{1}}}$. Setzt man nun zur Abkürzung:

(13.)

$\int \sigma \ dr=\lambda ,\qquad \sigma ={\frac {d\lambda }{dr}},$

so ergiebt sich weiter:

(14.)

${\begin{array}{ll}\sigma \left(\Theta _{0}d\Theta _{1}-\Theta _{1}d\Theta _{0}\right)&=\left[{\frac {\partial \lambda }{\partial s_{1}}}{\frac {\partial ^{2}r}{\partial s_{0}\partial t}}-{\frac {\partial \lambda }{\partial s_{0}}}{\frac {\partial ^{2}r}{\partial s_{1}\partial t}}\right]dt,\\\\&=\left[{\frac {\partial }{\partial s_{0}}}\left({\frac {\partial \lambda }{\partial s_{1}}}{\frac {\partial r}{\partial t}}\right)-{\frac {\partial }{\partial s_{1}}}\left({\frac {\partial \lambda }{\partial s_{0}}}{\frac {\partial r}{\partial t}}\right)\right]dt,\end{array}}$

und folglich:

(15.)

${\begin{array}{l}J_{1}{\frac {\Sigma \Sigma \ {\mathsf {D}}s_{0}{\mathsf {D}}s_{1}\sigma \left(\Theta _{0}d\Theta _{1}-\Theta _{1}d\Theta _{0}\right)}{2}}\\\\\qquad =J_{1}{\frac {dr}{2}}\cdot \Sigma \Sigma \ {\mathsf {D}}s_{0}{\mathsf {D}}s_{1}\left[{\frac {\partial }{\partial s_{0}}}\left({\frac {\partial \lambda }{\partial s_{1}}}{\frac {\partial r}{\partial t}}\right)-{\frac {\partial }{\partial s_{1}}}\left({\frac {\partial \lambda }{\partial s_{0}}}{\frac {\partial r}{\partial t}}\right)\right].\end{array}}$

Empfohlene Zitierweise:
Carl Gottfried Neumann: Die elektrischen Kräfte. B. G. Teubner, Leipzig 1873, Seite 152. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:Carl_Gottfried_Neumann_-_Die_elektrischen_Kr%C3%A4fte_170.jpg&oldid=- (Version vom 31.7.2018)