Die zu berechnende Arbeit (1.) drückt sich daher aus durch:
(6.)
|
|
wo diejenige ponderomotorische Kraft eldy. Us repräsentirt, welche auf ausübt, und die Summation sich ausdehnt über sämmtliche Volumelemente von und .
Um zunächst zu bestimmen, mögen die unendlich kleinen Volumina und zerlegt werden in Elemente zweiter Ordnung, und zwar in lauter prismatische Elemente, parallel zu und , d. i. zu und . Die ponderomotorische Kraft eldy. Us, mit welcher zwei solche Prismata auf einander einwirken, hat nach dem Ampère’schen Gesetz (pag. 44) den Werth:
(7.)
|
|
wo , die Längen der beiden Prismata und ihre Stromstärken vorstellen. Nun ist aber, falls man die Querschnitte dieser Prismata mit bezeichnet, , . Somit kann der Ausdruck (7.) auch so dargestellt werden:
Die eigentlich gesuchte von auf ausgeübte Kraft ergiebt sich hieraus durch Summation über sämmtliche in und enthaltenen Prismata. Die Volumina und sind aber unendlich klein; und es haben daher und , und ebenso auch für all’ jene Prismata einerlei Werthe. Somit folgt:
d. i.
(8.)
|
|
Durch Substitution dieses Werthes in (6.) erhält man sofort:
(9.)
|
|
wo die Bedeutung hat:
(10.)
|
|
Es handelt sich nun um die Berechnung dieses Doppelintegrals .
Für die Function oder ergeben sich, mit Rücksicht auf (4.), die Formeln:
(11.a)
|
|
(11.b)
|
|