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und es folgen jetzt die übrigen Attribute der Strömung ohne Weiteres aus
Ψ
.
{\displaystyle {\mathit {\Psi }}.\,}
Eine willkürliche Constante, welche noch zu
Ψ
{\displaystyle {\mathit {\Psi }}\,}
hinzugefügt werden kann, ist ohne Belang.
Sonach erhalten wir die Lösung unserer Aufgabe für eine Kugelschaale in folgender Form (§ 1,5):
Es sei
χ
n
=
(
ϱ
R
)
n
Y
n
n
>
0
{\displaystyle \chi _{n}=\left({\frac {\varrho }{R}}\right)^{n}Y_{n}\quad n>0\,}
die inducirende Potentialfunktion, dann ist:
Ψ
i
=
4
π
R
2
(
2
n
+
1
)
(
n
+
1
)
ω
k
(
ϱ
R
)
n
Y
n
′
Ψ
a
=
4
π
R
2
(
2
n
+
1
)
(
n
+
1
)
ω
k
(
R
ϱ
)
n
+
1
Y
n
′
ψ
=
ω
k
R
n
+
1
Y
n
′
Ω
i
=
−
4
π
R
2
n
+
1
ω
k
(
ϱ
R
)
n
Y
n
′
Ω
a
=
4
π
R
n
(
2
n
+
1
)
(
n
+
1
)
ω
k
(
R
ϱ
)
n
+
1
y
n
′
.
{\displaystyle {\begin{aligned}{\mathit {\Psi _{i}}}&={\frac {4\pi R^{2}}{(2n+1)(n+1)}}{\frac {\omega }{k}}\left({\frac {\varrho }{R}}\right)^{n}Y_{n}'\\{\mathit {\Psi _{a}}}&={\frac {4\pi R^{2}}{(2n+1)(n+1)}}{\frac {\omega }{k}}\left({\frac {R}{\varrho }}\right)^{n+1}Y_{n}'\\\psi &={\frac {\omega }{k}}{\frac {R}{n+1}}Y_{n}'\\{\mathit {\Omega _{i}}}&=-{\frac {4\pi R}{2n+1}}{\frac {\omega }{k}}\left({\frac {\varrho }{R}}\right)^{n}Y_{n}'\\{\mathit {\Omega _{a}}}&={\frac {4\pi Rn}{(2n+1)(n+1)}}{\frac {\omega }{k}}\left({\frac {R}{\varrho }}\right)^{n+1}y_{n}'.\end{aligned}}\,}
[1]
Aus den Relationen
U
=
1
R
∂
∂
ω
x
Ψ
,
∂
U
a
∂
ϱ
−
∂
U
i
∂
ϱ
=
−
4
π
u
{\displaystyle U={\frac {1}{R}}{\frac {\partial }{\partial \omega _{x}}}{\mathit {\Psi }},\quad {\frac {\partial U_{a}}{\partial \varrho }}-{\frac {\partial U_{i}}{\partial \varrho }}=-4\pi u\,}
und den entsprechenden für
V
{\displaystyle V\,}
und
W
{\displaystyle W\,}
erhält man ferner:
u
=
1
R
∂
ψ
∂
ω
x
=
1
n
+
1
ω
k
∂
Y
n
′
∂
ω
x
v
=
1
R
∂
ψ
∂
ω
y
=
1
n
+
1
ω
k
∂
Y
n
′
∂
ω
y
w
=
1
R
∂
ψ
∂
ω
z
=
1
n
+
1
ω
k
∂
Y
n
′
∂
ω
z
.
{\displaystyle {\begin{aligned}u&={\frac {1}{R}}{\frac {\partial \psi }{\partial \omega _{x}}}={\frac {1}{n+1}}{\frac {\omega }{k}}{\frac {\partial Y_{n}'}{\partial \omega _{x}}}\\v&={\frac {1}{R}}{\frac {\partial \psi }{\partial \omega _{y}}}={\frac {1}{n+1}}{\frac {\omega }{k}}{\frac {\partial Y_{n}'}{\partial \omega _{y}}}\\w&={\frac {1}{R}}{\frac {\partial \psi }{\partial \omega _{z}}}={\frac {1}{n+1}}{\frac {\omega }{k}}{\frac {\partial Y_{n}'}{\partial \omega _{z}}}.\end{aligned}}\,}
Endlich lässt sich der Ausdruck für das elektrische Potential in der Masse der Hohlkugel umformen. Setzt man für den Augenblick
ϱ
′
=
ϱ
sin
θ
,
{\displaystyle \varrho '=\varrho \sin \theta ,\,}
so ist
φ
=
ω
n
+
1
(
ϱ
′
∂
χ
n
∂
z
−
z
∂
χ
n
∂
ϱ
′
)
{\displaystyle \varphi ={\frac {\omega }{n+1}}\left(\varrho '\,{\frac {\partial \chi _{n}}{\partial z}}-z\,{\frac {\partial \chi _{n}}{\partial \varrho '}}\right)\,}
↑ Zusammenstellung der Formeln. WS: Die Randnotiz wurde als Fußnote übertragen.