Seite:Ueber das Doppler'sche Princip.djvu/4

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Dies in (3') eingesetzt bestimmt d und q_{1}\ q_{2}\ q_{3}.

Man erhält zunächst, da nur positive Zeichen einen Sinn geben:

q_{1}=1\text{ oder }\frac{\chi}{\omega} d=\frac{\chi}{\omega^{2}}\text{ oder }\frac{1}{\omega}.

Ich werde nur die erste Lösung benutzen, da die zweite kein Interesse bietet[1]; aus ihr folgt:

7) d=\frac{\chi}{\omega^{2}},\ q_{1}=1,\ q_{2}=q_{3}=\sqrt{1-\frac{\chi^{2}}{\omega^{2}}}=q.

Hiernach können wir die Gleichungen (2) schreiben:

8) \begin{align} \xi_{1} & =x_{1}\mu_{1}+y_{1}\nu_{1}+z_{1}\pi_{1}-\varkappa t & & =a_{1}-\varkappa t\\ \eta_{1} & =\left(x_{1}\mu_{2}+y_{1}\nu_{2}+z_{1}\pi_{2}\right)q & & =b_{1}q\\ \zeta_{1} & =\left(x_{1}\mu_{3}+y_{1}\nu_{3}+z_{1}\pi_{3}\right)q & & =c_{1}q\\ \tau & =t-\frac{\varkappa}{\omega^{2}}(\mu_{1}x+\nu_{1}y+\pi_{1}z) & & =t-\frac{\varkappa a_{1}}{\omega^{2}}{,} \end{align}

wo für \mu_{h}, \nu_{h}, \pi_{h} keine weiteren Bedingungen mehr gelten, als die aus ihrer Bedeutung als Richtungscosinus von drei auf einander normalen, aber sonst ganz beliebigen Richtungen hervorgehenden.

Es können daher die mit a_{1}\ b_{1}\ c_{1} bezeichneten Aggregate als die Coordinaten der Stelle x_{1}\ y_{1}\ z_{1} in Bezug auf ein mit den Richtungen \delta_{1}\ \delta_{2}\ \delta_{3} zusammenfallendes Coordinatensystem ABC angesehen werden.

Jedes derartige System \mu_{h}, \nu_{h}, \pi_{h} giebt eine Lösung (U), (V), (W) aus gegebenen U, V, W. Nahmen U, V, W an einer Oberfläche f(x, y, z) = 0 gegebene Werthe \overline{U}, \overline{V}, \overline{W} an, so (U), (V), (W) aus jenen ableitbare (\overline{U}), (\overline{V}), (\overline{W}) an der Oberfläche (f)=f(\overline{\xi_{1}},\overline{\eta_{1}},\overline{\zeta_{1}})=0, welche wegen der Werthe von \xi_{1}, \eta_{1}, \zeta_{1} die Eigenschaft hat, sich mit gleichförmiger Geschwindigkeit \chi parallel der durch die Richtungscosinus \mu_{1}\ \nu_{1}\ \pi_{1} gegebenen Richtung \delta_{1} oder A fortzuschieben. Die Lösungen (U), (V), (W) geben also die Gesetze, nach welchen gewisse in fortschreitender Bewegung begriffene Oberflächen leuchten, wenn sie nur noch der Bedingung

\frac{(\partial U)}{\partial x}+\frac{\partial (V)}{\partial y}+\frac{\partial (W)}{\partial z}=0

  1. Aus ihr folgt q_{2}=q_{3}=0 also auch m_{2}\ n_{2}\ p_{2}, m_{3}\ n_{3}\ p_{3} und hiernach \zeta=\eta=0.
Empfohlene Zitierweise:

Woldemar Voigt: Ueber das Doppler’sche Princip. Göttingen: Dieterichsche Verlags-Buchhandlung, 1887, Seite 44. Digitale Volltext-Ausgabe in Wikisource, URL: http://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:Ueber_das_Doppler%27sche_Princip.djvu/4&oldid=1863127 (Version vom 15.08.2012)