Seite:Ueber das Doppler'sche Princip.djvu/8

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Nimmt man hier die Substitution gemäß (10) vor, so kommt, falls \textstyle{\sqrt{1-\frac{\chi^{2}}{\omega^{2}}}=q} gesetzt wird:

(W)=Ae^{\frac{2\pi(\mu y+\nu z)q}{T\omega}}\sin\frac{2\pi}{T}\left[t\left(1+\frac{\chi\sigma}{\omega}\right)-x\left(\frac{\sigma}{\omega}+\frac{\chi}{\omega^{2}}\right)\right].

Dies giebt für x=\chi t, falls man \textstyle{\frac{\mu}{q}=\mu'}, \textstyle{\frac{\nu}{q}=\nu'} schreibt:

(\overline{W})=Ae^{\frac{2\pi(\mu'y+\nu'z)}{\omega T'}}\sin\frac{2\pi t}{T}\text{, wo wiederum }T'=\frac{T}{1-\frac{\chi^{2}}{\omega^{2}}}\text{ ist,}

also eine schwingende und zugleich fortschreitende Ebene; die fortgepflanzte Verrückung aber schreibt sich:

15) (W)=Ae^{\frac{2\pi(\mu'y+\nu'z)}{\omega T'}}\sin\frac{2\pi t}{T}\left(t\frac{1+\frac{\chi\sigma}{\omega}}{1-\frac{\chi^{2}}{\omega^{2}}}-x\frac{\frac{\sigma}{\omega}+\frac{\chi}{\omega^{2}}}{1-\frac{\chi^{2}}{\omega^{2}}}\right){,}

worin jetzt \sigma=\sqrt{1+(\mu^{'2}+\nu^{'2})q^{2}} ist.

Man bemerkt, daß hier ganz andere Gesetze gelten als durch das Doppler’sche Princip gegeben sind, selbst wenn man sich auf die erste Annährung beschränkt und \chi^{2}\omega^{2} neben 1 vernachlässigt.

3) Ist die leuchtende Oberfläche eine sehr kleine[AU 1] Kugel vom Radius R, welche nach dem Gesetz für den Drehungswinkel

\overline{\psi}=A\sin\frac{2\pi t}{T}

um die X-Axe oscillirt, so sind in der Entfernung \textstyle{r=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}} vom Kugelmittelpunkt die fortgepflanzten Drehungen \psi gegeben durch[1]</ref>:

16) \psi=\frac{R^{3}A}{r^{3}}\left[\sin\frac{2\pi}{T}\left(t-\frac{r-R}{\omega}\right)+\frac{2\pi(r-R)}{T\omega}\cos\frac{2\pi}{T}\left(t-\frac{r-R}{\omega}\right)\right]

=\frac{R^{3}A}{r^{3}}\sqrt{1+\left(\frac{2\pi(r-R)}{T\omega}\right)^{2}}\cos\frac{2\pi}{T}\left(t-\frac{r-R}{\omega}-\eta\right){,}

worin

\frac{2\pi(r-R)}{T\omega}=\operatorname{ctg}\frac{2\pi\eta}{T}

  1. W. Voigt, Crelles Journ. Bd. 89, 298.[AU 2]

Anmerkungen des Autors

  1. Dies wird später genauer dahin präzisiert, daß der Radius klein gegen die Wellenlänge sein soll. Die Formeln (16) und (17) setzen diese Annahme aber nicht voraus.
  2. Ebenda finden sich auch die Gesetze für die Emission einer geradlinig oszillierenden Kugel, die eine gleiche Verwertung gestatten.
Empfohlene Zitierweise:

Woldemar Voigt: Ueber das Doppler’sche Princip. Göttingen: Dieterichsche Verlags-Buchhandlung, 1887, Seite 48. Digitale Volltext-Ausgabe in Wikisource, URL: http://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:Ueber_das_Doppler%27sche_Princip.djvu/8&oldid=1333624 (Version vom 7.11.2010)