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	Carl Gottfried Neumann: Die elektrischen Kräfte

lineare Leiter. — Ampère’s Elementargesetz.

$(24.)\,$

${\begin{aligned}P&={\mathit {\Sigma }}_{1}\ (R\ \cos \vartheta ),\\Q&={\mathit {\Sigma }}_{1}\ (R\ \sin \vartheta ),\end{aligned}}$

die Summation (oder Integration) ${\mathit {\Sigma }}_{1}\,$ hinerstreckt über alle Elemente von $\beta \gamma \delta \beta .\,$ Hieraus ergiebt sich, wenn man für $\cos \vartheta \,$ die Ableitung ${\frac {\partial r}{\partial s}},\,$ andererseits für $R\,$ den Werth (23.) substituirt:

$(25.)\,$

$P={\mathit {\Sigma }}_{1}\left(J\mathrm {D} s\cdot J_{1}\mathrm {D} s_{1}\cdot {\frac {\partial \chi }{\partial s}}{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial s\ \partial s_{1}}}\right),$

oder was dasselbe ist:

$(26.)\,$

${\begin{aligned}P&={\frac {J\mathrm {D} s\cdot J_{1}}{2}}{\mathit {\Sigma }}_{1}\left(\mathrm {D} s_{1}\cdot 2{\frac {\partial \chi }{\partial s}}{\frac {\partial }{\partial s_{1}}}\left[{\frac {\partial \psi }{\partial s}}\right]\right)\\&={\frac {J\mathrm {D} s\cdot J_{1}}{2}}{\mathit {\Sigma }}_{1}\left(\mathrm {D} s_{1}\cdot 2u{\frac {\partial v}{\partial s_{1}}}\right)\end{aligned}}$

wo für den Augenblick die beiden Ausdrücke ${\frac {\partial \chi }{\partial s}}={\frac {d\chi }{dr}}{\frac {\partial r}{\partial s}}=\chi '{\frac {\partial r}{\partial s}}$ und ${\frac {\partial \psi }{\partial s}}=\psi '{\frac {\partial r}{\partial s}}$ mit $u\,$ und $v\,$ bezeichnet sein sollen.

     Nun ist allgemein für beliebige Functionen $u,v:\,$

$2u{\frac {\partial v}{\partial s_{1}}}={\frac {\partial (uv)}{\partial s_{1}}}+u^{2}{\frac {\partial }{\partial s_{1}}}\left({\frac {u}{v}}\right),$

also wenn für $u,v\,$ die eben genannten Werthe substituirt werden:

$2u{\frac {\partial v}{\partial s_{1}}}={\frac {\partial (uv)}{\partial s_{1}}}+\left(\chi '{\frac {\partial r}{\partial s}}\right)^{2}{\frac {\partial }{\partial s_{1}}}\left({\frac {\psi '}{\chi '}}\right).$

Hieraus folgt weiter:

${\begin{aligned}2u{\frac {\partial v}{\partial s_{1}}}&={\frac {\partial (uv)}{\partial s_{1}}}+\left(\chi '{\frac {\partial r}{\partial s}}\right)^{2}{\frac {d}{dr}}\left({\frac {\psi '}{\chi '}}\right)\cdot {\frac {\partial r}{\partial s_{1}}},\\&={\frac {\partial (uv)}{\partial s_{1}}}+(\chi '\psi ''-\psi '\chi '')\left({\frac {\partial r}{\partial s}}\right)^{2}{\frac {\partial r}{\partial s_{1}}},\\&={\frac {\partial (uv)}{\partial s_{1}}}+\lambda \cos ^{2}\vartheta \ \cos \vartheta _{1}.\end{aligned}}$

Denn es ist ja (vergl. pag. 39): ${\frac {\partial r}{\partial s}}=\cos \vartheta ,\ {\frac {\partial r}{\partial s_{1}}}=-\cos \vartheta _{1}.$ Ausserdem ist zur Abkürzung der Ausdruck $(\psi '\chi ''-\chi '\psi '')\,$ mit $\lambda \,$ benannt worden.

     Somit folgt aus (26.):

$(27.)\,$

$P={\frac {J\mathrm {D} s\cdot J_{1}}{2}}{\mathit {\Sigma }}_{1}(\mathrm {D} s_{1}\cdot \lambda \cos ^{2}\vartheta \cos \vartheta _{1}).$

Nun bemerkt man (Fig. 6 auf pag. 40), dass der hier unter der Summe befindliche Ausdruck $\lambda \cos ^{2}\vartheta \cos \vartheta _{1}\,$ für all’ diejenigen Elemente $\mathrm {D} s_{1}\,$ verschwindet, welche der geradlinigen Strecke $\beta \gamma \,$ angehören;

Empfohlene Zitierweise:
Carl Gottfried Neumann: Die elektrischen Kräfte. Leipzig 1873, Seite 41. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:Carl_Gottfried_Neumann_-_Die_elektrischen_Kr%C3%A4fte_059.jpg&oldid=- (Version vom 17.8.2016)