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	Carl Gottfried Neumann: Die elektrischen Kräfte

Die ponderomotorischen Kräfte eldy. Ursprungs für

und daher, zufolge des Satzes (9.), (10.), auch ausgedrückt werden kann durch

$(12.b)\,$

$P=-A^{2}J_{0}J_{1}\cdot {\mathit {\Sigma \Sigma }}\ \mathrm {D} s_{0}\mathrm {D} s_{1}\ [\varphi \cdot \mathrm {E} ],\,$

vorausgesetzt, dass man unter $\varphi \,$ eine Function von $r\,$ versteht, welche mit $\psi \,$ verbunden ist durch die Relation:

$(13.)\,$

$r{\frac {d\varphi }{dr}}+4\left({\frac {d\psi }{dr}}\right)^{2}=0.\,$

     Dieser Relation entsprechend, und in Uebereinstimmung mit einer früheren Festsetztung (pag. 46), sollen im Folgenden

$\psi =\psi (r)\quad {\text{und}}\quad \varphi =\varphi (r)\,$

als Functionen aufgefasst werden, welche für beträchtliche $r\,$ iden­tisch respective mit ${\sqrt {r}}\,$ und ${\tfrac {1}{r}},\,$ für sehr kleine $r\,$ hingegen von noch unbekannter Beschaffenheit sind.

     Die Kraft $R\,$ hat nach dem Ampère’schen Gesetz (pag. 44) den Werth:

$(14.)\,$

$R=A^{2}J_{0}J_{1}\ \mathrm {D} s_{0}\mathrm {D} s_{1}\cdot 8{\frac {d\psi }{dr}}{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial s_{0}\ \partial s_{1}}};\,$

ihre $x-\,$Componente wird daher:

$(15.)\,$

${X_{0}}^{A}=A^{2}J_{0}J_{1}\ \mathrm {D} s_{0}\mathrm {D} s_{1}\ \cdot 8{\frac {d\psi }{dr}}{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial s_{0}\ \partial s_{1}}}{\frac {x_{0}-x_{1}}{r}}.\,$

Hieraus ergiebt sich durch Summation über sämmtliche Elemente $\mathrm {D} s_{1}\,$ sofort:

$(16.)\,$

${X_{0}}^{B}=A^{2}J_{0}J_{1}\ \mathrm {D} s_{0}\cdot {\mathit {\Sigma }}\ \mathrm {D} s_{1}\left\lbrace 8\left({\frac {d\psi }{dr}}{\frac {x_{0}-x_{1}}{r}}\right){\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial s_{0}\ \partial s_{1}}}\right\rbrace ,\,$

d.i.

$(17.)\,$

${X_{0}}^{B}=A^{2}J_{0}J_{1}\ \mathrm {D} s_{0}\cdot {\mathit {\Sigma }}\ \mathrm {D} s_{1}\left\lbrace 8u{\frac {\partial v}{\partial s_{1}}}\right\rbrace ,\,$

wo für den Augenblick ${\frac {d\psi }{dr}}{\frac {x_{0}-x_{1}}{r}}=u,\,$ und ${\frac {\partial \psi }{\partial s_{0}}}={\frac {d\psi }{dr}}{\frac {\partial r}{\partial s_{0}}}=v\,$ gesetzt worden ist.

     Nun gilt allgemein für beliebige Functionen $u,v\,$ die Gleichung:

$8u{\frac {\partial v}{\partial s_{1}}}=4{\frac {\partial (uv)}{\partial s_{1}}}+4u^{2}{\frac {\partial }{\partial s_{1}}}\left({\frac {v}{u}}\right).\,$

Hieraus folgt, wenn für $u,v\,$ die genannten Bedeutungen substituirt werden:

$8u{\frac {\partial v}{\partial s_{1}}}=4{\frac {\partial (uv)}{\partial s_{1}}}+4\left({\frac {d\psi }{dr}}{\frac {x_{0}-x_{1}}{r}}\right)^{2}{\frac {\partial }{\partial s_{1}}}\left({\frac {r}{x_{0}-x_{1}}}{\frac {\partial r}{\partial s_{0}}}\right).\,$

Somit ergiebt sich aus (17.)

Empfohlene Zitierweise:
Carl Gottfried Neumann: Die elektrischen Kräfte. Leipzig 1873, Seite 70. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:Carl_Gottfried_Neumann_-_Die_elektrischen_Kr%C3%A4fte_088.jpg&oldid=- (Version vom 18.8.2016)