Seite:Carl Gottfried Neumann - Die elektrischen Kräfte 264.jpg

	Carl Gottfried Neumann: Die elektrischen Kräfte

(15.)

$\mathrm {A} =\Sigma _{1}\left({\frac {\partial {\frac {1}{r}}}{\partial z_{1}}}{\mathsf {D}}y_{1}-{\frac {\partial {\frac {1}{r}}}{\partial y_{1}}}{\mathsf {D}}z_{1}\right).$

Bei der weiteren Behandlung dieser Formel wollen wir uns nun auf den Fall beschränken, dass alle Puncte des Stromes $\left(J_{1},s_{1}\right)$ in derselben Ebene liegen. Die von dem Strome begrenzte ebene Stromfläche $\Lambda _{1}$ mag zerlegt sein in lauter unendlich kleine Elemente $\lambda _{1}$. Alsdann kann jenes $\mathrm {A}$ (15.) dadurch erhalten werden, dass man das Integral der Reihe nach berechnet für die Peripherie eines jeden Elementes $\lambda _{1}$, und sodann all’ diese Elementar-Integrale zusammenaddirt; solches mag angedeutet sein durch die Formeln:

(16.)

$\mathrm {A} ={\mathfrak {S}}\left(\Sigma _{\lambda _{1}}\right),$

(17.)

$\Sigma _{\lambda _{1}}=\Sigma _{\lambda _{1}}\left({\frac {\partial {\frac {1}{r}}}{\partial z_{1}}}{\mathsf {D}}y_{1}-{\frac {\partial {\frac {1}{r}}}{\partial y_{1}}}{\mathsf {D}}z_{1}\right).$

Das Elementar-Integral $\Sigma _{\lambda _{1}}$ kann nun sofort berechnet werden mit Hülfe eines früher (pag. 88, 89) aufgestellten Satzes; man findet:

(18.)

$\Sigma _{\lambda _{1}}=\lambda _{1}\left[-\alpha _{1}\left({\frac {\partial ^{2}{\frac {1}{r}}}{\partial {y_{1}}^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}{\frac {1}{r}}}{\partial {z_{1}}^{2}}}\right)+\beta _{1}{\frac {\partial ^{2}{\frac {1}{r}}}{\partial x_{1}\partial y_{1}}}+\gamma _{1}{\frac {\partial ^{2}{\frac {1}{r}}}{\partial x_{1}\partial z_{1}}}\right].$

Diese Formel, in welcher $\alpha _{1},\beta _{1},\gamma _{1}$ die Richtungscosinus der auf $\lambda _{1}$ oder (was dasselbe ist) auf $\Lambda _{1}$ errichteten positiven Normale $n_{1}$ vorstellen, kann mit Rücksicht auf die bekannte Relation

${\frac {\partial ^{2}{\frac {1}{r}}}{\partial {x_{1}}^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}{\frac {1}{r}}}{\partial {y_{1}}^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}{\frac {1}{r}}}{\partial {z_{1}}^{2}}}=0$

auch so dargestellt werden:

(19.)

$\Sigma _{\lambda _{1}}=+{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}\left(\lambda _{1}\alpha _{1}{\frac {\partial {\frac {1}{r}}}{\partial x_{1}}}+\lambda _{1}\beta _{1}{\frac {\partial {\frac {1}{r}}}{\partial y_{1}}}+\lambda _{1}\gamma _{1}{\frac {\partial {\frac {1}{r}}}{\partial z_{1}}}\right),$

oder, mit Rücksicht auf die bekannten Relationen $\alpha _{1}={\frac {\partial x_{1}}{\partial n_{1}}},\ \beta _{1}={\frac {\partial y_{1}}{\partial n_{1}}},\ \gamma _{1}={\frac {\partial z_{1}}{\partial n_{1}}}$, auch so:

(20.)

$\Sigma _{\lambda _{1}}=+{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}\left(\lambda _{1}{\frac {\partial {\frac {1}{r}}}{\partial n_{1}}}\right),$

oder endlich auch so:

Empfohlene Zitierweise:
Carl Gottfried Neumann: Die elektrischen Kräfte. B. G. Teubner, Leipzig 1873, Seite 246. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:Carl_Gottfried_Neumann_-_Die_elektrischen_Kr%C3%A4fte_264.jpg&oldid=- (Version vom 31.7.2018)