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	Heinrich Hertz: Ueber die Induction in rotirenden Kugeln

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Form aufstellen, der Einfachheit halber möge die Integralform beibehalten werden. Setzt man

[1]	${\begin{aligned}p_{n}\sigma &=\int \limits _{-1}^{+1}(1-v^{2})^{n}e^{\sigma v}\,dv\\q_{n}\sigma &=\int \limits _{1}^{\infty }(1-v^{2})^{n}e^{-\sigma v}\,dv,\end{aligned}}\,$

so sind offenbar die Lösungen der Differentialgleichungen:

${\begin{aligned}\varphi _{1}&=Ap_{n}(\lambda _{1}\sigma )+Bp_{n}(\lambda _{2}\sigma )+Cq_{n}(\lambda _{1}\sigma )+Dq_{n}(\lambda _{2}\sigma )\\-\varphi _{2}&=\lambda _{1}^{2}Ap_{n}(\lambda _{1}\sigma )+\lambda _{2}^{2}Bp_{n}(\lambda _{2}\sigma )+\lambda _{1}^{2}Cq_{n}(\lambda _{1}\sigma )+\lambda _{2}^{2}Dq_{n}(\lambda _{2}\sigma ).\end{aligned}}\,$

Diese Lösungen sind in die Integralgleichungen einzusetzen und daraus die Constanten zu bestimmen. Zur Ausmittlung der dabei auftretenden Integrale dienen die folgenden Rechnungen:

Man hat:

$p_{n}(\lambda \sigma )=\int \limits _{-1}^{+1}(1-v^{2})^{n}e^{\lambda \sigma v}\,dv,\,$

${\begin{aligned}\sigma ^{-2n}{\frac {d}{d\sigma }}(\sigma ^{2n+1}p_{n})&=\int \limits _{-1}^{+1}(1-v^{2})^{n}(\sigma v\lambda +2n+1)e^{v\lambda \sigma }\,dv\\&=2np_{n-1}(\lambda \sigma )\end{aligned}}\,$ [2].

${\begin{aligned}{\frac {d}{d\sigma }}[\sigma ^{-2n}{\frac {d}{d\sigma }}(\sigma ^{2n+1}p_{n})]&=\lambda \int \limits _{-1}^{+1}(1-v^{2})^{n}(v^{2}\lambda \sigma +2(n+1)v)e^{v\sigma \lambda }\,dv\\&=\lambda ^{2}\sigma p_{n}(\lambda \sigma )\end{aligned}}\,$ [2].

Die letzte Gleichung zeigt, dass $p_{n}\,$ eine Lösung der vorgelegten Differentialgleichung ist.

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1. Definition der $p\,$ und $q.\,$ WS: Die Randnotiz wurde als Fußnote übertragen.
2. Die letzten Glieder der Gleichungen werden durch Umformung der voranstellenden Integrale, vorzüglich durch partielle Integration erhalten.

Empfohlene Zitierweise:
Heinrich Hertz: Ueber die Induction in rotirenden Kugeln, Berlin 1880, Seite 42. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:De_Induction_in_rotirenden_Kugeln_(Hertz)_043.png&oldid=- (Version vom 31.7.2018)