Zur Thermodynamik bewegter Systeme

Zur Thermodynamik bewegter Systeme

von

Dr. Fritz Hasenöhrl.

(Vorgelegt in der Sitzung am 31. Oktober 1907.)

Der Strahlung in einem bewegten Hohlraume kommt eine bestimmte elektromagnetische Bewegungsgröße und Masse zu. Da der Wärmeinhalt eines jeden Körpers zum Teil aus strahlender Energie besteht, besitzt jeder Körper eine bestimmte elektromagnetische Masse, die von seinem Energieinhalt, also etwa auch von seiner Temperatur abhängt. Diese Behauptung habe ich in früheren Arbeiten bewiesen.^[1] Seither ist eine Arbeit des Herrn v. Mosengeil über die Strahlung in einem bewegten Hohlraum erschienen, worin unter anderen der Energieinhalt des bewegten Hohlraumes mit Hilfe der Beziehung zwischen Energie und Bewegungsgröße berechnet ist.^[2] Ferner hat Herr Planck^[3] die Dynamik eines beliebigen bewegten Systems studiert, wobei er von der Existenz der erwähnten elektromagnetischen Bewegungsgröße ausgeht.

Herr Planck setzt die Gültigkeit des sogenannten Relativitätsprinzips in der Fassung von Einstein voraus, benützt den bewegten Hohlraum als Vergleichskörper und gelangt so zu Sätzen, welche für jeden Körper gelten müssen. In der vorliegenden Arbeit habe ich versucht, gleichfalls eine Theorie eines beliebigen bewegten Körpers auszuarbeiten. Der eingeschlagene Weg unterscheidet sich wesentlich von der Methode des Herrn Planck. Es sind nur die thermodynamischen Sätze sowie die Definition der elektromagnetischen Bewegungsgröße vorausgesetzt. Stellt man dann die Forderung, daß ein mitbewegter Beobachter nichts von der Bewegung wahrnehmen soll, so ergibt sich die Fitzgerald-Lorentz’sche Kontraktionshypothese.

Wir betrachten also einen beliebigen Körper, dessen Zustand in der Ruhe durch die innere Energie $U_{0}$ und das Volumen v gegeben ist. Wird derselbe bei konstantem Volum adiabatisch auf die Geschwindigkeit $q=\beta c$ gebracht,^[4] so besitzt er eine bestimmte Bewegungsgröße ${\mathfrak {G}}$, die als Funktion von $U_{0}$, v, $\beta$ darstellbar sein muß. Wir setzen

${\mathfrak {G}}={\frac {1}{c}}\phi (U_{0},v,\beta )$.

Die dabei geleistete Arbeit der Translationskräfte ist

$\int q\ dt{\frac {d{\mathfrak {G}}}{dt}}=\int _{0}^{\beta }\beta {\frac {\partial \phi }{\partial \beta }}d\beta$.

Um diesen Betrag hat die Energie des Körpers zugenommen; bezeichnen wir dieselbe mit U, so ist

$U=U_{0}+\int _{0}^{\beta }\beta {\frac {\partial \phi }{\partial \beta }}d\beta =\Phi (U_{0},v,\beta )$, ${\frac {\partial \Phi }{\partial \beta }}=\beta {\frac {\partial \phi }{\partial \beta }}$.

(1)

Wir führen ferner die Größe

$H=U-\beta \phi \,$

(2)

ein, die wir auch als Funktion von $U_{0}$, v und $\beta$ betrachten können. Es gilt dann:

$H=U_{0}-\int _{0}^{\beta }\phi \ d\beta$,

(3)

$\phi =-{\frac {\partial H}{\partial \beta }}$,

(4)

$U=H-\beta {\frac {\partial H}{\partial \beta }}$.

(5)

Bei der Differentiation nach einer der Größen $U_{0}$, v, $\beta$ sind die beiden anderen konstant zu halten. Wir heben noch hervor, daß wir unter $U_{0}$ den Wert der Energie verstehen, welchen sie annimmt, wenn der Körper adiabatisch und isochorisch zur Ruhe gebracht wird; ganz gleichgültig, auf welchem Wege der Körper auf seinen momentanen (bewegten) Zustand gekommen ist.

1. Berechnung des Druckes.

Wir bezeichnen den Druck des ruhenden Systems mit $p_{0}$, den des bewegten mit p. Zur Berechnung des letzteren betrachten wir folgenden Kreisprozeß:

A. Der Anfangszustand sei der der Ruhe; $U_{0}$, v, $p_{0}$ seien die Werte der betreffenden Zustandsgrößen. Wir ändern das Volum adiabisch von v auf $v'=v+dv\,$; die Energie nimmt den Wert $U'_{0}=U_{0}-p_{0}dv\,$ an.

B. Wir bringen den Körper auf die Geschwindigkeit $\beta c$. Die Energie nimmt den Wert

$U=\Phi (U'_{0},\ v',\ \beta )$

an. Die Arbeit der äußeren Kräfte ist

$U-U'_{0}=\Phi (U'_{0},\ v',\ \beta )-U'_{0}$.

C. Wir ändern bei konstanter Geschwindigkeit das Volumen adiabatisch um $-dv$. Die äußeren Kräfte leisten die Kompressionsarbeit $pdv$ und die Translationsarbeit (um die Geschwindigkeit konstant zu erhalten) $\beta d\phi$. Es ist also die Zunahme der Energie

$dU=pdv+\beta d\phi \,$. Sei $U''_{0}\,$ der Wert, den $U_{0}$ jetzt angenommen hat; dann ist

$dU=\Phi (U''_{0},\ v,\ \beta )-\Phi (U'_{0},\ v',\ \beta )$, $d\phi =\phi (U''_{0},\ v,\ \beta )-\phi (U'_{0},\ v',\ \beta )$.

D. Wir bringen den Körper adiabatisch und isochorisch zur Ruhe. Dabei wird die Arbeit

$U''_{0}-\Phi (U''_{0},\ v,\ \beta )$

geleistet. Der Zustand des Körpers ist jetzt durch die Variabeln $U''_{0},\ v,\ \beta =0$ gegeben. Die gesamte Arbeit der äußeren Kräfte ist:

$(-p_{0}dv)+(\Phi (U'_{0},\ v',\ \beta )-U'_{0})+(pdv+\beta d\phi )+(U''_{0}-\Phi (U''_{0},v,\ \beta ))$.

Nach dem ersten Hauptsatze muß diese Arbeit gleich $U''_{0}-U_{0}\,$ sein. Der zweite Hauptsatz verlangt überdies, daß diese Differenz gleich Null sei. Sonst würde dieser Kreisprozeß, oder der umgekehrte ein thermisches Perpetuum mobile repräsentieren. Setzen wir also im obigen Ausdrucke $U''_{0}=U_{0}\,$; beachten, daß dann:

${\begin{array}{lll}d\phi &=&\phi (U_{0},v,\beta )-\phi (U'_{0},v',\beta )=\\\\&=&{\frac {\partial \phi }{\partial U_{0}}}(U_{0}-U'_{0})+{\frac {\partial \phi }{\partial v}}(v-v')=\\\\&=&{\frac {\partial \phi }{\partial U_{0}}}p_{0}dv-{\frac {\partial \phi }{\partial v}}dv\end{array}}$

und

$\Phi (U'_{0},v',\beta )-\Phi (U_{0},v,\beta )={\frac {\partial \Phi }{\partial v}}dv-{\frac {\partial \Phi }{\partial U_{0}}}p_{0}dv$

ist, so erhalten wir:

${\frac {\partial \Phi }{\partial v}}dv-{\frac {\partial \Phi }{\partial U_{0}}}p_{0}dv+\beta {\frac {\partial \phi }{\partial U_{0}}}p_{0}dv-\beta {\frac {\partial \phi }{\partial v}}dv+pdv=0$

oder nach (2):

$p=p_{0}{\frac {\partial H}{\partial U_{0}}}-{\frac {\partial H}{\partial v}}$.

(6)

Wir erhalten also den Satz: Steht ein beliebiger Körper in Zustande der Ruhe unter dem Druck $p_{0}$, so nimmt derselbe bei adiabatisch isochorischer Beschleunigung den Wert p, der durch Gleichung (6) gegeben ist, an.

Dieser Satz läßt sich einfacher, aber vom physikalischen Standpunkte weniger klar, auf folgendem Weg ableiten: Bei einer adiabatischen Zustandsänderung ist der Betrag von U nur von den momentanen Werten der Größen $\beta$ und v abhängig. Wenn also bei beliebiger Geschwindigkeit v adiabatisch um dv verändert wird, so ändert sich $U_{0}$ um $-p_{0}dv\,$.^[5] Es muß dann die Zunahme der Energie, welche hier der Arbeit der äußeren Kräfte gleich ist:

$dU=-pdv+\beta d\phi \,$

und daher auch

$-pdv-\phi d\beta \,$

ein vollständiges Differential, also

${\frac {\partial p}{\partial \beta }}=\left({\frac {\partial \phi }{\partial v}}\right)$

sein. Hiebei ist unter $\left({\frac {\partial }{\partial v}}\right)$ eine Differentiation bei adiabatischer Zustandsänderung zu verstehen; ist also $\phi$ als explizite Funktion von v und $U_{0}$ gegeben, so ist

$\left({\frac {\partial \phi }{\partial v}}\right)={\frac {\partial \phi }{\partial v}}+{\frac {\partial \phi }{\partial U_{0}}}\left({\frac {\partial U_{0}}{\partial v}}\right)={\frac {\partial \phi }{\partial v}}-p_{0}{\frac {\partial \phi }{\partial U_{0}}}$.

Da ferner nach (4)

$\phi =-{\frac {\partial H}{\partial \beta }}$

ist, läßt sich obige Gleichung nach $\beta$ integrieren und wir erhalten:

$p=p_{0}{\frac {\partial H}{\partial U_{0}}}-{\frac {\partial H}{\partial v}}+\mathrm {Konst.}$

Diese Konstante kann noch eine Funktion von $U_{0}$ und v sein; sie reduziert sich auf Null, da für $\beta =0$, $p=p_{0}$

$H=U_{0};\quad \left({\frac {\partial H}{\partial v}}\right)_{U_{0}}=0$

ist.

2. Das Differential der zugeführten Wärme

ist gleich der Zunahme der Energie vermehrt um die (vom betrachteten Körper) geleistete Arbeit, also

$dQ=dU+pdv-\beta d\phi \,$.^[6]

Führen wir wieder $U_{0}$, v und $\beta$ als independente Variable ein, so wird:

$dQ={\frac {\partial \Phi }{\partial U_{0}}}dU_{0}+{\frac {\partial \Phi }{\partial v}}dv+{\frac {\partial \Phi }{\partial \beta }}d\beta -$ $-\beta \left({\frac {\partial \phi }{\partial U_{0}}}dU_{0}+{\frac {\partial \phi }{\partial v}}dv+{\frac {\partial \phi }{\partial \beta }}d\beta \right)+pdv$.

Berücksichtigen wir (1), (2) und (6), so wird:

$dQ={\frac {\partial H}{\partial U_{0}}}dU_{0}+{\frac {\partial H}{\partial v}}dv+\left(p_{0}{\frac {\partial H}{\partial U_{0}}}-{\frac {\partial H}{\partial v}}\right)dv$,

oder

$dQ={\frac {\partial H}{\partial U_{0}}}(dU_{0}+p_{0}dv)$.

(7)

Dieser Ausdruck gilt ganz allgemein.

3. Die Temperatur des bewegten Körpers.

Wir betrachten zuerst ein System von Körpern, die sich alle mit derselben konstanten Geschwindigkeit bewegen. Die Erfahrung lehrt, daß dann $dQ/T$ ein vollständiges Differential ist. Gleichung (7) zeigt, daß diese Bedingung erfüllt ist, wenn wir

$T=T_{0}{\frac {\partial H}{\partial U_{0}}}\cdot f(\beta )$

(8a)

setzen. Denn $T_{0}$ ist der integrierende Nenner von $dU_{0}+p_{0}dv$, wenn wir analog dem früheren unter $T_{0}$ die Temperatur verstehen, die der bewegte Körper annimmt, wenn er adiabatisch und isochorisch auf die Geschwindigkeit Null gebracht wird. Die auftretende Funktion von $\beta$ spielt hier die Rolle einer Konstanten, ist daher belanglos. Natürlich muß sie für alle Körper denselben Wert haben.

Da wir in diesem Falle $\beta$ als konstant ansehen, ist

$dQ={\frac {\partial H}{\partial U_{0}}}(dU_{0}+p_{0}dv)=dH+pdv$.

In einem Systeme, dessen Geschwindigkeit sich nicht ändert, spielt H für den mitbewegten Beobachter die Rolle der inneren Energie; zwischen den Größen H, v, p, T bestehen dieselben Beziehungen, welche aus den thermodynamischen Hauptsätzen für $U_{0},v,p_{0},T_{0}$ folgen.

Wir lassen nun einen Körper einen Carnot’schen Kreisprozeß durchlaufen, bei dem die beiden Reservoire verschiedene Geschwindigkeit haben; und zwar sei $T_{1},\beta _{1}c$ Temperatur und Geschwindigkeit des einen Reservoirs; $T_{2},\beta _{2}c$ seien die betreffenden Größen für das andere. Gilt der Satz von der Unmöglichkeit eines thermischen Perpetuum mobile auch, wenn dasselbe in seinen verschiedenen Stadien verschiedene Geschwindigkeit annimmt, so kann das Verhältnis der an die Reservoire abgegebenen Wärmemengen nicht von der Natur des den Kreisprozeß ausführenden Körpers abhängig sein. Es muß dann

${\frac {dQ_{1}}{dQ_{2}}}={\frac {\left[{\frac {\partial H}{\partial U_{0}}}(dU_{0}+p_{0}dv)\right]_{1}}{\left[{\frac {\partial H}{\partial U_{0}}}(dU_{0}+p_{0}dv)\right]_{2}}}=\varphi (T_{1},T_{2},\beta _{1},\beta _{2})$

sein. Man erkennt leicht, daß diese Funktion die Gestalt

${\frac {\phi (T_{1},\beta _{1})}{\phi (T_{2},\beta _{2})}}$

haben muß. Da ferner

${\frac {\phi (T_{1},\beta )}{\phi (T_{2},\beta )}}={\frac {T_{1}}{T_{2}}}$ sein muß, weil für Körper derselben Geschwindigkeit die gewöhnliche Temperaturdefinition zu gelten hat, ergibt sich für $\phi$ die Form: $\phi (T,\beta )=T\cdot g(\beta )$.

Wir wollen diese Funktion $g(\beta )$, sowie die Funktion $f(\beta )$ in (8a) gleich Eins setzen; dann wird

$T=T_{0}{\frac {\partial H}{\partial U_{0}}}$.

(8)

Wir müssen jedoch betonen, daß darin eine gewisse Willkür liegt. Auch wenn wir diese Funktionen nicht gleich Eins setzen, kommen wir weder in Widerspruch mit dem Satz von der Unmöglichkeit des thermischen Perpetuum mobile, noch mit der gewöhnlichen Temperaturdefinition, die sich ja nur auf Körper derselben Geschwindigkeit bezieht. Das Kriterium der Temperaturgleichheit ist auf Körper ungleicher Geschwindigkeit nicht anwendbar, da wir sie nicht direkt, sondern nur mit Hilfe eines Hilfskörpers, der verschiedene Geschwindigkeiten annimmt, in reversibeln Wärmeaustausch bringen können. Setzen wir jedoch $g(\beta )$ nicht gleich Eins, so ändert sich auch die Entropie bei adiabatischer Beschleunigung.

Es ist also jedenfalls am einfachsten, T durch die Gleichung (8) zu definieren; dann ist $dQ/T$ ein vollständiges Differential und die Entropie bleibt bei adiabatischer Beschleunigung konstant.^[7]

4. Die Entropie eines bewegten Körpers.

Wir sind zum Resultate gelangt, daß bei der isochoren adiabatischen Beschleunigung Druck und Temperatur die Werte

$p=p_{0}{\frac {\partial H}{\partial H_{0}}}-{\frac {\partial H}{\partial v}}$,

(6)

$T=T_{0}{\frac {\partial H}{\partial U_{0}}}$

(8)

annehmen. H spielt in einem System, das sich mit konstanter Geschwindigkeit bewegt, die Rolle der inneren Energie.

Die Entropie des ruhenden Systems sei $S_{0}(U_{0},v)$, die des bewegten kann durch $S(H,v)$ ausgedrückt werden. Es gelten die Beziehungen

$\left({\frac {\partial S_{0}}{\partial U_{0}}}\right)_{v}={\frac {1}{T_{0}}},\quad \left({\frac {\partial S_{0}}{\partial v}}\right)_{U_{0}}={\frac {p_{0}}{T_{0}}}$;

ebenso aber auch

$\left({\frac {\partial S}{\partial H}}\right)_{v}={\frac {1}{T}},\quad \left({\frac {\partial S}{\partial v}}\right)_{H}={\frac {p}{T}}$;

denn es ist ja (bei konstantem $\beta$)

$dS={\frac {1}{T}}(dH+pdv)$.

Da das System aus dem Zustande der Ruhe adiabatisch in den der Bewegung gebracht wurde, hat die Entropie in beiden Fällen denselben Wert, also:

$S_{0}(U_{0},v)=S(H,v)\,$;

daher auch

${\frac {\partial S_{0}}{\partial U_{0}}}={\frac {\partial S}{\partial U_{0}}}={\frac {\partial S}{\partial H}}{\frac {\partial H}{\partial U_{0}}}$, $\left({\frac {\partial S_{0}}{\partial v}}\right)_{U_{0}}=\left({\frac {\partial S}{\partial v}}\right)_{U_{0}}={\frac {\partial S}{\partial H}}\left({\frac {\partial H}{\partial v}}\right)_{U_{0}}+\left({\frac {\partial S}{\partial v}}\right)_{H}$.

Daraus ergeben sich auch sofort die Gleichungen (6) und (8).

5. Die Bewegungsgröße.

Wir haben bisher die Existenz einer Bewegungsgröße vorausgesetzt, ohne eine spezielle Annahme über ihren Wert zu machen. Nun wollen wir in Übereinstimmung mit der Theorie von Lorentz und Abraham annehmen, daß die Bewegungsgröße gleich sei dem Raumintegral des (absoluten) Energiestromes, dividiert durch das Quadrat der Lichtgeschwindigkeit. Nehmen wir an, daß es auf den Strom der gesamten Energie ankommt, daß also die gesamte innere Energie elektromagnetischer Natur sei, so kann die Bewegungsgröße durch folgende einfache Überlegung berechnet werden.

Wir betrachten einen zylindrischen Körper vom Querschnitt Eins, der sich in der Richtung seiner Achse bewegt (einen anders geformten Körper können wir in zylindrische Teile zerlegt denken). Durch einen beliebigen Querschnitt, der die Bewegung mitmacht, fließe der (relative) Energiestrom $\pi _{1}$ in der Richtung der Bewegung, der Energiestrom $\pi _{2}$ in der entgegengesetzten Richtung. Da der Körper homogen gedacht ist, sind diese Größen von der Lage des Querschnittes unabhängig; es wird daher die (dem Sinne der Bewegung nach) rückwärtige Basisfläche in der Zeiteinheit die Energiemenge $\pi _{1}$ aussenden und die Energiemenge $\pi _{2}$ zugeführt erhalten. Die Differenz $\pi _{1}-\pi _{2}$ muß gleich sein der in der Zeiteinheit an dieser Fläche geleisteten äußeren Arbeit. Die hier angreifende Kraft ist der Druck p; die Druckarbeit in der Zeiteinheit ist pq; also

$pq=\pi _{1}-\pi _{2}\,$.

Um den absoluten Energiestrom, also den Energiestrom durch einen ruhend gedachten Querschnitt zu berechnen, haben wir zum relativen Energiestrom in der Richtung der Bewegung, also zur Größe $\pi _{1}-\pi _{2}$ noch das Produkt der Energiedichte mal der Translationsgeschwindigkeit hinzuzufügen.^[8] Bezeichnen wir die erstere für den Augenblick mit u, so wird der absolute Energiestrom durch einen Querschnitt durch die Größe

$\pi _{1}-\pi _{2}+qu=(p+u)q\,$

gegeben sein. Multiplizieren wir diese Größe mit dem Volumen und dividieren durch $c^{2}$, so wird

${\mathfrak {G}}={\frac {1}{c^{2}}}v(p+u)q$ oder, da wir $uv$ mit U bezeichnen:

${\mathfrak {G}}={\frac {1}{c^{2}}}(pv+U)q$.[9]

(10)

Es kommt also gar nicht darauf an, welcher Art die innere Energie des Körpers ist, wenn sie nur elektromagnetischer Natur ist (wir denken uns dieselbe wohl aus strahlender Energie und der Energie irgendwie bewegter Elektronen zusammengesetzt). Auf die Relativgeschwindigkeit der Energieströmung kommt es hier gleichfalls nicht an; die einzelnen Energiearten können natürlich auch mit verschiedener Geschwindigkeit strömen.

Man kommt natürlich zum selben Resultate, wenn man die einzelnen Energieströmungen in Rechnung zieht. Sei etwa $u(\phi )\sin \phi \ d\phi \,$ die Dichte einer bestimmten Energieart, welche sich in einer relativen Richtung bewegt, die mit der Bewegungsrichtung zwischen $\phi \,$ und $\phi +d\phi \,$ einschließt. Dann ist die gesamte Energie dieser Art

$U=2\pi \ v\int _{0}^{\pi }\ u(\phi )\ \sin \phi \ d\phi$.

Die Bewegungsgröße erhalten wir, wenn wir die absolute Strömung, das ist also $u(\phi )\sin \phi \ d\phi \cdot \omega _{A}$ (wo $\omega _{A}$ die absolute Strömungsgeschwindigkeit ist) mit $\cos \varphi \,$ multiplizieren, wenn $\varphi \,$ der Winkel zwischen der absoluten Strömungsrichtung und der Bewegungsrichtung ist. Also:

${\mathfrak {G}}={\frac {2\pi v}{c^{2}}}\int _{0}^{\pi }u(\phi )\cdot \omega _{A}\cdot \cos \varphi \cdot \sin \phi \ d\phi$.

Nun ist aber^[10]

$\omega _{A}\cos \varphi =q+\omega _{R}\cos \phi$, wo $\omega _{R}$ die Relativgeschwindigkeit ist ($\omega _{A}$ und $\omega _{R}$ sind im allgemeinen Funktionen von $\phi \,$ oder $\varphi$).

Also wird

${\mathfrak {G}}={\frac {2\pi v}{c^{2}}}q\int _{0}^{\pi }u(\phi )\sin \phi \ d\phi +{\frac {2\pi v}{c^{2}}}\int _{0}^{\pi }u(\phi )\sin \phi \cos \phi \omega _{R}\ d\phi$.

Der erste Summand ist gleich ${\frac {1}{c^{2}}}qU$; der zweite gibt den Überschuß der von der Basisfläche abgehenden Energie über die, welche ihr zuströmt, an, hängt daher mit der Druckarbeit $pq$ zusammen, wodurch wir wieder zur Gleichung (10) gelangen.

6. Die Änderung des Volumens.

Sei ein ruhendes System gegeben, das sich im mechanischen und thermischen Gleichgewichte befindet, in dem also alle Körper denselben Druck und dieselbe Temperatur haben. Wird dieses System adiabatisch (jeder Körper für sich adiabatisch) in Bewegung gesetzt, so ändern sich Druck und Temperatur jedes einzelnen Körpers, und zwar, wie wir von vornherein annehmen müssen, bei den einzelnen Körpern in verschiedenem Maße. Es wird also das Gleichgewicht gestört; stellt es sich wieder her, so werden die einzelnen Körper ihre Volumina ändern müssen. Sind diese Volumsänderungen für verschiedene Körper verschieden, so sind sie prinzipiell beobachtbar. Wenn aber das mechanische und thermische Gleichgewicht dadurch wieder hergestellt wird, daß die Dimensionen aller Körper in gleicher Weise geändert werden, ist ein Einfluß der gemeinsamen Translationsbewegung nicht merkbar.

Dies ist in der Tat der Fall; es läßt sich erstens zeigen, daß, wenn adiabatisch $\beta$ um $d\beta$ und gleichzeitig v um $-v{\frac {\beta d\beta }{1-\beta ^{2}}}$ geändert wird, der Druck eines jeden Körpers unverändert bleibt. Es muß also

$dp={\frac {\partial p}{\partial U_{0}}}dU_{0}+{\frac {\partial p}{\partial v}}dv+{\frac {\partial p}{\partial \beta }}d\beta =0$

(11)

sein, wenn

$dv=-v{\frac {\beta d\beta }{1-\beta ^{2}}}$   und   $dU_{0}=-p_{0}dv\,$

(12)

ist (letztere Beziehung gilt je nach (7) allgemein für die adiabatische Zustandsänderung).

Wir beachten, daß nach (10) und (2)

${\begin{array}{rl}H=&U-\beta \phi =U-q{\mathfrak {G}}=U-\beta ^{2}(pv+U)\\=&U(1-\beta ^{2})-\beta ^{2}pv\end{array}}$

ist. Setzen wir noch für U seinen Wert aus (5) ein, so ergibt sich

$H=(1-\beta ^{2})H-(1-\beta ^{2})\beta {\frac {\partial H}{\partial \beta }}-\beta ^{2}pv$

oder

$(1-\beta ^{2}){\frac {\partial H}{\partial \beta }}=-\beta (H+pv)$.

(13)

Es wird dann:

$(1-\beta ^{2}){\frac {\partial p}{\partial \beta }}=(1-\beta ^{2}){\frac {\partial }{\partial \beta }}\left(p_{0}{\frac {\partial H}{\partial U_{0}}}-{\frac {\partial H}{\partial v}}\right)=$ ${\begin{array}{l}=-\beta p_{0}{\frac {\partial }{\partial U_{0}}}(H+pv)+\beta {\frac {\partial }{\partial v}}(H+pv)=\\\\=-\beta \left(p_{0}{\frac {\partial H}{\partial U_{0}}}-{\frac {\partial H}{\partial v}}\right)-\beta v\left(p_{0}{\frac {\partial p}{\partial U_{0}}}-{\frac {\partial p}{\partial v}}\right)+\beta p=\\\\=\beta v\left({\frac {\partial p}{\partial v}}-p_{0}{\frac {\partial p}{\partial U_{0}}}\right).\end{array}}$

Setzen wir diesen Wert in (11) ein und berücksichtigen (12), so sehen wir, daß in der Tat $dp=0$ wird.

Die gleichzeitige Änderung von T ist:

$dT={\frac {\partial T}{\partial v}}dv+{\frac {\partial T}{\partial U_{0}}}dU_{0}+{\frac {\partial T}{\partial \beta }}d\beta =$ $=-v{\frac {\beta d\beta }{1-\beta ^{2}}}\left({\frac {\partial T}{\partial v}}-p_{0}{\frac {\partial T}{\partial U_{0}}}\right)+{\frac {\partial T}{\partial \beta }}d\beta$.

Und zwar ist nach (8):

${\frac {\partial T}{\partial \beta }}=T_{0}{\frac {\partial ^{2}H}{\partial \beta \ \partial U_{0}}}=-{\frac {1}{1-\beta ^{2}}}T_{0}\beta {\frac {\partial }{\partial U_{0}}}(H+pv)=$ $=-{\frac {1}{1-\beta ^{2}}}\beta T_{0}{\frac {\partial H}{\partial U_{0}}}-{\frac {1}{1-\beta ^{2}}}\beta vT_{0}{\frac {\partial p}{\partial U_{0}}}$.

Nun ist aber

$T_{0}{\frac {\partial p}{\partial U_{0}}}=T_{0}\left({\frac {\partial p_{0}}{\partial U_{0}}}{\frac {\partial H}{\partial U_{0}}}+p_{0}{\frac {\partial ^{2}H}{\partial U_{0}^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}H}{\partial U_{0}\partial v}}\right)$.

Setzen wir hierin

$T_{0}{\frac {\partial p_{0}}{\partial U_{0}}}=p_{0}{\frac {\partial T_{0}}{\partial U_{0}}}-{\frac {\partial T_{0}}{\partial v}}$,

welche Relation bekanntlich aus der Thermodynamik ruhender Körper folgt, so wird:

$T_{0}{\frac {\partial p}{\partial U_{0}}}=\left(p_{0}{\frac {\partial T_{0}}{\partial U_{0}}}-{\frac {\partial T_{0}}{\partial v}}\right)\cdot {\frac {\partial H}{\partial U_{0}}}+p_{0}T_{0}{\frac {\partial ^{2}H}{\partial U_{0}^{2}}}-T_{0}{\frac {\partial ^{2}H}{\partial U_{0}\partial v}}=$ $=p_{0}{\frac {\partial }{\partial U_{0}}}\left(T_{0}{\frac {\partial H}{\partial U_{0}}}\right)-{\frac {\partial }{\partial v}}\left(T_{0}{\frac {\partial H}{\partial U_{0}}}\right)=p_{0}{\frac {\partial T}{\partial U_{0}}}-{\frac {\partial T}{\partial v}}$.

Also wird

${\frac {\partial T}{\partial \beta }}=-{\frac {\beta }{1-\beta ^{2}}}\cdot T-{\frac {\beta }{1-\beta ^{2}}}v\left(p_{0}{\frac {\partial T}{\partial U_{0}}}-{\frac {\partial T}{\partial v}}\right)$

und

$dT=-{\frac {\beta d\beta }{1-\beta ^{2}}}T$.

Die Änderung der Temperatur ist also für alle Körper die gleiche.

Wir können diesen Ausdruck sowie den Ausdruck für $dv$ (12) sofort integrieren. Wir erhalten dann:

$v=v_{0}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}$, $T=T_{0}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}$.

(14)

Wir gelangen also zu dem Resultate:

Wenn sich das Volumen mit der Geschwindigkeit nach obigem Gesetze verkleinert, sich also etwa die Dimensionen der Materie in der Richtung der Bewegung im Verhältnisse

${\sqrt {1-\beta ^{2}}}$

verkürzen, so bleibt bei adiabatischer Änderung der Geschwindigkeit der Druck jedes Körpers unverändert, während die Temperatur aller Körper in gleichem Maße sinkt. Es ist dann kein Einfluß einer gemeinsamen Translationsbewegung merkbar.

Es stimmt dies mit der Kontraktionshypothese von H. A. Lorentz, sowie mit den Sätzen, die Herr Planck aus dem sogenannten Relativitätsprinzip abgeleitet hat, überein.

Während Herr Planck die Gültigkeit des Relativitätsprinzips von vornherein annimmt, sind wir gewissermaßen zu einem Beweise der Kontraktionshypothese gelangt, in dem wir den Satz postulierten, daß eine gemeinsame Translationsbewegung für einen mitbewegten Beobachter nicht wahrnehmbar ist; oder auch in dem wir gezeigt haben, daß bei konstantem Druck eine Volumänderung in der oben angegebenen Weise eintreten muß.

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1. F. Hasenöhrl, diese Sitzungsber., CXIII, p. 1039, 1904; Ann. d. Phys. (4), 15, p. 344, 1904, und 16, p. 589, 1905.
2. K. v. Mosengeil, Berliner Dissertation 1906; Ann. d. Phys. (4), 22, p. 867, 1906. – Auf Herrn v. Mosengeil’s Kritik meiner Arbeiten komme ich später zu sprechen.
3. M. Planck, Berliner Berichte, 1907, p. 542.
4. Es soll stets nur von reversibeln Vorgängen die Rede sein, c ist die Lichtgeschwindigkeit im Äther.
5. Vergl. den folgenden Abschnitt 2.
6. Darauf, daß hier auch die Translationsarbeit $\beta d\phi$ berücksichtigt werden muß, hat zuerst Herr Planck aufmerksam gemacht.
7. Es ist dies auch in den Arbeiten der Herren v. Mosengeil und Planck bei der Bestimmung der Temperatur eines bewegten Hohlraumes geschehen.
8. Vergl. etwa M. Abraham, Theorie der Elektrizität, II., p. 108.
9. Die hier angegebene Methode basiert auf einer Überlegung, die ich bereits in einer früheren Arbeit (diese Sitzungsber., CXIII., p. 1039, 1904) verwendet habe. Die Gleichung (10) wurde bereits von Herrn Planck, l. c., abgeleitet. Die Methode Planck’s hat aber mit der hier verwendeten gar nichts zu tun.
10. Vergl. etwa F. Hasenöhrl, Ann. d. Phys., 15, p. 347, 1904 (dort ist allerdings nur strahlende Energie in Betracht gezogen. Wir haben jetzt die dort mit c und c’ bezeichnete Größe durch $\omega _{A}$ und $\omega _{R}$ zu ersetzen. Da die Beziehungen rein geometrisch sind, ist diese Vertauschung ohneweiters gestattet).