14. Die Primideale ersten Grades und der Klassenbegriff.
§ 53. Die Erzeugung der Idealklassen durch Primideale ersten Grades.
Es ist von hohem Interesse, daß die in Kapitel 10—12 entwickelten Prinzipien auch über die Frage der Erzeugung und Natur der Idealklassen eines Zahlkölpers neues Licht verbreiten. In diesem und in dem folgenden Kapitel werden die wichtigsten auf diese Frage bezüglichen allgemeinen Sätze dargelegt. Der erste Satz betrifft die Erzeugung der Idealklassen eines beliebigen Galoisschen Zahlkörpers durch Primideale ersten Grades und lautet:
Satz 89. In jeder Idealklasse eines Galoisschen Körpers gibt es Ideale, deren Primfaktoren sämtlich Ideale ersten Grades sind.
Wir beweisen zunächst den folgenden Hilfssatz:
Hilfssatz 12. Wenn ein Galoisscher Körper vom -ten Grade mit der Diskriminante ist, und ein in ! nicht aufgehendes Primideal von einem Grade in diesem Körper bedeutet, so gibt es stets eine zu ! prime ganze Zahl in , welche durch , aber nicht durch teilbar ist, und deren übrige Primfaktoren sämtlich von niederem als dem -ten Grade sind.
Beweis. Es sei eine ganze Zahl des Körpers von der Art, daß jede
andere ganze Zahl einer ganzzahligen Funktion von nach kongruent wird. Nach Satz 29 existiert eine solche Zahl stets. Wir bezeichnen ferner
die zu konjugierten und von verschiedenen Primideale mit , , …‚ und bestimmen dann eine ganze Zahl in , welche den Kongruenzen
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genügt. Ist eine solche Substitution der zu gehörigen Zerlegungsgruppe, für welche nach wird, so sind offenbar die Differenzen
, , …, zu prim. Ist ferner eine nicht zur Zerlegungsgruppe gehörige Substitution, so wird durch teilbar, und folglich ist die Differenz zu prim. Die Differente von ist mithin zu
prim, und daher folgt nach der Bemerkung auf S. 71, daß eine den Körper
bestimmende Zahl darstellt. Mit Rücksicht auf Satz 31 ist der Trägheitskörper von , und daher genügt einer Gleichung von der Gestalt:
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,
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wo , …‚ Zahlen im Zerlegungskörper des Primideals bedeuten. Die übrigen Unterkörper des Körpers vom nämlichen Grade bezeichnen wir mit , , …; es genügt dann auch den Gleichungen
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wo , …, Zahlen in , , …, Zahlen in usf. sind. Nunmehr bestimme man ganze rationale Zahlen , …‚ so, daß
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, …, , ()
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wird; dies ist möglich, weil nach Satz 70 das Ideal in vom ersten Grade ist.
Sodann seien , …, solche ganze rationale Zahlen, welche den Kongruenzen
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, …, , ()
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genügen, und für welche überdies keine der zum Index 1 gehörigen Verbindungen
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, , …
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verschwindet. Wir setzen ferner
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.
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Endlich bezeichnen wir die sämtlichen von verschiedenen und in der Diskriminante von oder in den Normen der Zahlen , , … aufgehenden
rationalen Primzahlen, soweit sie größer als sind, mit , …, . Ist eine beliebige unter diesen, so muß, da sie in höchstens Primfaktoren enthalten kann, mindestens eine der () Zahlen, , , , …, zu prim sein; es sei etwa prim zu . Bestimmt man dann eine ganze rationale Zahl , welche den Kongruenzen nach für
, , …, genügt, so ist
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eine Zahl von der Eigenschaft, wie sie unser Hilfssatz 12 verlangt.
In der Tat: wegen der Kongruenz nach ist die Zahl prim zu
allen denjenigen rationalen Primzahlen, welche sind; und andererseits ist auf Grund der Bestimmungsweise der Zahl prim zu allen denjenigen in enthaltenen rationalen Primzahlen, welche größer als sind. Die Zahl ist daher prim zu den von verschiedenen, in aufgehenden rationalen Primzahlen.
Ferner ist teilbar durch , aber nicht durch , , …, , da
nach wird. Die Zahl ist in der Gestalt
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,
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darstellbar, wo , …, ganze rationale Zahlen bedeuten. Da nach
ist und keiner ganzzahligen Kongruenz von niederem als dem -ten
Grade nach genügen kann, so folgt, daß nicht durch teilbar ist.
Wäre ferner durch ein Primideal vom Grade teilbar, und seien , , , …, die Substitutionen der Zerlegungsgruppe von , durch
welche diese aus der Trägheitsgruppe erzeugt wird, so müßten die Kongruenzen.
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bestehen; diese würden zur Folge haben, daß die Diskriminante der Zahl
durch teilbar ist, was nach dem Obigen nicht zutrifft.
Es sei endlich durch ein Primideal vom Grade teilbar; dann müßte einer der Körper , , , … Zerlegungskörper von sein; es sei dies etwa der Körper . Unter dieser Annahme setze man in die Gestalt
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,
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wo , …, Zahlen in bedeuten. Sind , , , …, die für zur Erzeugung seiner Zerlegungsgruppe aus seiner Trägheitsgruppe dienenden
Substitutionen, so folgt
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und diese Kongruenzen würden zur Folge haben, daß entweder
oder
durch
teilbar ist, womit die obigen Festsetzungen im Widerspruch stehen.
Wenn wir berücksichtigen, daß in jeder Klasse ein Ideal gefunden werden kann, Welches zu ! prim ist, so folgt aus dem somit bewiesenen Hilfssatz 12, wie man leicht sieht, der Satz 89. Derselbe ist für den Fall des Kreiskörpers bereits von Kummer bewiesen worden [Kummer (6[1])].