Schwere, Elektricität und Magnetismus/§. 51.

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§. 51. Fortsetzung: Die wirkliche Ladung der Kugel-Oberflächen.

 Die Vertheilung von Elektricitätsmengen über die Unstetigkeitspunkte innerhalb der beiden Kugeln ist nur eine Fiction, mit der wir nichts anderes bezweckt haben, als die Function $V'\!$ herzustellen, die im Raume ausserhalb der Kugeln mit der gesuchten Function $V\!$ übereinstimmt. Diese Function $V\!$ rührt her von der beim Gleichgewicht wirklich eingetretenen Elektricitätsvertheilung auf den beiden Kugeloberflächen. Wie nun $V'\!$ in vier Bestandtheile zerlegt ist, so kann man auch

(1)	$V=V_{1}+V_{2}+V_{3}+V_{4}\,$

setzen und die Bestimmung treffen, dass im Raume ausserhalb der Kugeln und auf ihren Oberflächen

(2)	$V_{1}=V_{1}',\quad V_{2}=V_{2}',\quad V_{3}=V_{3}',\quad V_{4}=V_{4}'\,$

sein soll. In das Innere der Kugeln haben wir jede der Functionen $V_{1},\,V_{2},\,V_{3},\,V_{4}\,$ von der Oberfläche aus stetig so fortzusetzen, dass überall die partielle Differentialgleichung von Laplace erfüllt ist. Man kann noch bemerken, dass $V_{1}+V_{2}=g\!$ ist im Innern der ersten Kugel, und $=0\!$ im Innern der zweiten Kugel, und ferner, dass $V_{3}+V_{4}=h\!$ ist im Innern der zweiten und $=0\!$ im Innern der ersten Kugel.

 Wir wollen die Aufgabe so zerlegen, dass zuerst $g\!$ verschieden von Null und $h=0\!$ genommen wird, und nachher umgekehrt $g=0\!$ und $h\!$ verschieden von Null. Zuerst also $h=0\!$. Dann ist $V_{3}=V_{4}=0\!$. Es fragt sich, wie gross in einem Punkte der ersten oder der zweiten Kugeloberfläche die Dichtigkeit der Elektricität ist, von welcher die Potentialfunction $V=V_{1}+V_{2}\!$ herrührt. Auf diese Frage gibt die Gleichung (8) des §. 45 Antwort. Bezeichnen wir mit $M_{1}\!$ und $M_{2}\!$ die gesammte Elektricitätsmenge auf der ersten und resp. zweiten Kugeloberfläche, so findet sich

(3)	$M_{1}=\,{\frac {1}{4\pi }}\int \left\{\left({\frac {\partial V_{1}}{\partial p}}\right)_{+0}+\left({\frac {\partial V_{2}}{\partial p}}\right)_{+0}\right\}d\sigma _{1},\,$

(4)	$M_{2}=\,{\frac {1}{4\pi }}\int \left\{\left({\frac {\partial V_{1}}{\partial p}}\right)_{+0}+\left({\frac {\partial V_{2}}{\partial p}}\right)_{+0}\right\}d\sigma _{2}.\,$

Hier kommen die Derivirten in unendlich kleiner Entfernung von der Oberfläche, aber ausserhalb, in Betracht. Für sie ist

$\left({\frac {\partial V_{1}}{\partial p}}\right)_{+0}=\left({\frac {\partial V'_{1}}{\partial p}}\right)_{+0}$ und $\left({\frac {\partial V_{2}}{\partial p}}\right)_{+0}=\left({\frac {\partial V'_{2}}{\partial p}}\right)_{+0}.$

Die Functionen $V'_{1}\!$ und $V'_{2}\!$ haben die Eigenschaft, dass sie selbst und ihre Derivirten beim Durchgang durch die Oberfläche der Kugeln sich stetig ändern. D. h. es ist

$\left({\frac {\partial V'_{1}}{\partial p}}\right)_{-0}=\left({\frac {\partial V'_{1}}{\partial p}}\right)_{+0}$ und $\left({\frac {\partial V'_{2}}{\partial p}}\right)_{-0}=\left({\frac {\partial V'_{2}}{\partial p}}\right)_{+0}.$

Gibt man nun noch Acht auf die Gleichungen (13) und (14) des vorigen Paragraphen, so erhält man (weil $n=-p\!$ für $p<0\!$):

(5)	$M_{1}=\sum _{0}^{\infty }m'_{k},$

(6)	$M_{2}=\sum _{1}^{\infty }m''_{k}.$

 Es sei ferner $g=0\!$, $h\!$ verschieden von Null, also $V_{1}=V_{2}=0\!$. Wir bezeichnen jetzt mit $M_{3}\!$ und $M_{4}\!$ die Elektricitätsmenge auf der zweiten und resp. der ersten Kugeloberfläche, von welcher die Potentialfunction $V=V_{3}+V_{4}\!$ herrührt. Zu ihrer Berechnung ist derselbe Weg einzuschlagen, wie vorher zur Berechnung von $M_{1}\!$ und $M_{2}\!$. Es findet sich

(7)	$M_{3}=\sum _{0}^{\infty }m'''_{k},$

(8)	$M_{4}=\sum _{1}^{\infty }m''''_{k}.$

Dieselben Elektricitätsmengen, welche vorher bei der fingirten Vertheilung in den Unstetigkeitspunkten irgend einer Gruppe concentrirt waren, sind also jetzt in Wirklichkeit stetig über die Oberfläche der zugehörigen Kugel ausgebreitet.

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