Schwere, Elektricität und Magnetismus:214

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
Seite 200
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Vierter Abschnitt. §. 50.

Dann hat man die Functionen $\varphi _{21}(\eta )\!$ und $\varphi _{22}(\eta )\!$. Die durchgeführte Rechnung gibt nach leichter Reduction:

(30)	$\varphi _{21}(\eta )=h\,{\frac {b}{c}}\,(\alpha _{2}-\alpha _{1})\sum _{0}^{\infty }\,{\frac {1}{(\alpha _{1}^{k}-\alpha _{2}^{k})\,{\frac {b}{c}}\,\eta -(\alpha _{1}^{k+1}-\alpha _{2}^{k+1})\left(1-{\frac {a}{c}}\,\eta \right)}},\,$

(31)	$\varphi _{22}(\eta )=h\,{\frac {b}{c}}\,(\alpha _{1}-\alpha _{2})\sum _{1}^{\infty }\,{\frac {1}{(\alpha _{1}^{k}-\alpha _{2}^{k})\,\left({\frac {c^{2}-b^{2}}{ac}}-\eta \right)-{\frac {b}{c}}\,(\alpha _{1}^{k+1}-\alpha _{2}^{k+1})}}.\,$

 Für einen Punkt auf der Centrallinie zwischen beiden Kugeln ist hiernach die Potentialfunction

(32)	$\varphi (\eta )=\varphi _{11}(\eta )+\varphi _{12}(\eta )+\varphi _{21}(\eta )+\varphi _{22}(\eta ).\,$

 Es handelt sich noch darum, die Convergenz der Reihen (23), (26), (30), (31) zu untersuchen. In jeder dieser Reihen ist das allgemeine Glied von der Form

${\frac {1}{K_{1}\alpha _{1}^{k}+K_{2}\alpha _{2}^{k}}},\,$

und es bedeutet in einer und derselben Entwicklung $K_{1}\!$ in allen Gliedern dasselbe, ebenso $K_{2}\!$. Dividirt man nun ein Glied durch das vorhergehende, so lautet der Quotient:

${\frac {K_{1}\alpha _{1}^{k}+K_{2}\alpha _{2}^{k}}{K_{1}\alpha _{1}^{k+1}+K_{2}\alpha _{2}^{k+1}}}.\,$

 Bei Gleichung (18) ist aber bemerkt worden, dass $\alpha _{1}\alpha _{2}=1\!$ ist und dass beide Wurzeln positiv sind. Wir nehmen $\alpha _{1}<1\!$, folglich $\alpha _{2}>1\!$, und können den eben gewonnenen Quotienten so schreiben

${\frac {\alpha _{2}^{k}(K_{1}\alpha _{1}^{2k}+K_{2})}{\alpha _{2}^{k+1}(K_{1}\alpha _{1}^{2k+2}+K_{2})}}=\alpha _{1}\cdot {\frac {K_{1}\alpha _{1}^{2k}+K_{2}}{K_{1}\alpha _{1}^{2k+2}+K_{2}}}.\,$

Der Grenzwerth für $k=\infty \!$ ist $\alpha _{1}\!$. Folglich convergiren die Reihen unter allen Umständen.

§. 50. Fortsetzung: Grösse und Lage jeder einzelnen fingirten Ladung.

 Wir betrachten zunächst die Function $\varphi _{11}(\eta )\!$, welche durch die Reihe (23) des vorigen Paragraphen ausgedrückt ist. Der