Schwere, Elektricität und Magnetismus:345

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
Seite 331
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Bewegung des Theilchens $\varepsilon \,$. Riemann’s Gesetz.

Um das zu beweisen, setzen wir

${\frac {1}{r^{3}}}\left\lbrace (x-x_{1})\left({\frac {dx}{dt}}-{\frac {dx_{1}}{dt}}\right)+(y-y_{1})\left({\frac {dy}{dt}}-{\frac {dy_{1}}{dt}}\right)+(z-z_{1})\left({\frac {dz}{dt}}-{\frac {dz_{1}}{dt}}\right)\right\rbrace =G,$ $(x-x_{1})\left({\frac {dx}{dt}}-{\frac {dx_{1}}{dt}}\right)+(y-y_{2})\left({\frac {dy}{dt}}-{\frac {dy_{1}}{dt}}\right)+(z-z_{1})\left({\frac {dz}{dt}}-{\frac {dz_{1}}{dt}}\right)=H.$

Die einzelnen Summanden in $D\!$ sind dann, abgesehen von constanten Factoren, von der Form

$G\cdot H.\!$

Es ist aber

${\begin{aligned}\Delta _{2}(GH)&=G\Delta _{2}H+H\Delta _{2}G\!\\&+2\left({\frac {\partial G}{\partial x}}{\frac {\partial H}{\partial x}}+{\frac {\partial G}{\partial y}}{\frac {\partial H}{\partial y}}+{\frac {\partial G}{\partial z}}{\frac {\partial H}{\partial z}}\right),\\\end{aligned}}$

und es lässt sich durch Differentiation leicht beweisen, dass

$\Delta _{2}\,G=0,$ $\Delta _{2}\,H=0.$

Folglich erhalten wir einfacher

$\Delta _{2}(GH)=2\left({\frac {\partial G}{\partial x}}{\frac {\partial H}{\partial x}}+{\frac {\partial G}{\partial y}}{\frac {\partial H}{\partial y}}+{\frac {\partial G}{\partial z}}{\frac {\partial H}{\partial z}}\right).$

Die Factoren ${\frac {\partial H}{\partial x}},{\frac {\partial H}{\partial y}},{\frac {\partial H}{\partial z}}$ sind von $x,\,y,\,z$ unabhängig. Es wird also

$\Delta _{2}\,\Delta _{2}(GH)=2\left({\frac {\partial H}{\partial x}}{\frac {\partial \Delta _{2}\,G}{\partial x}}+{\frac {\partial H}{\partial y}}{\frac {\partial \Delta _{2}\,G}{\partial y}}+{\frac {\partial H}{\partial z}}{\frac {\partial \Delta _{2}\,G}{\partial z}}\right)$

und dies ist gleich Null, da $\Delta _{2}G=0\!$ ist. Damit ist auch die Gleichung (4) bewiesen.

 Weber’s Hypothese führt also bei dem vorliegenden Problem auf eine complicirtere Differentialgleichung.

§. 102. Bewegung des Theilchens $\varepsilon \,$. Riemann’s Gesetz.

 Wir wollen jetzt für das Theilchen $\varepsilon \!$ die Bewegungsgleichungen selbst ableiten, und zwar zunächst nach Riemann’s Hypothese:

(1)	$S=\varepsilon \,V.$

(2)	${\begin{aligned}D=&-{\frac {\varepsilon }{c^{2}}}v^{2}\,V+{\frac {\varepsilon }{c^{2}}}W\\&-2{\frac {\varepsilon }{c^{2}}}\left(u_{1}{\frac {dx}{dt}}+u_{2}{\frac {dy}{dt}}+u_{3}{\frac {dz}{dt}}\right).\\\end{aligned}}$