geschlossen werden, wo , gesetzt ist und in den Produkten alle zu primen Zahlen und zu durchlaufen hat.
Durch dieselbe Überlegung wie in § 91 folgt hieraus, daß der Grad des Körpers mindestens ist, und damit zugleich, daß er genau diesen Wert hat.
§ 96.
Die Basis und die Diskriminante des Kreiskörpers der -ten Einheitswurzeln.
Satz 121. In dem durch bestimmten Kreiskörper der -ten Einheitswurzeln bilden die Zahlen
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, , , …,
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eine Basis; die Diskriminante dieses Körpers ist
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,
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wo für oder nach das Vorzeichen — und sonst das Vorzeichen gilt.
Satz 122. Ist eine von verschiedene rationale Primzahl und der kleinste positive Exponent, für welchen nach ausfällt, und wird gesetzt, so findet in die Zerlegung
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statt, wo , …, voneinander verschiedene Primideale -ten Grades in sind.
Die beiden Sätze 121 und 122 werden genau in der entsprechenden Weise bewiesen, wie die für den Körper aufgestellten Sätze 118 und 119.
§ 97.
Der Kreiskörper der -ten Einheitswurzeln. Der Grad, die Diskriminante und die Primideale dieses Körpers.
Jetzt sei ein Produkt aus Potenzen verschiedener Primzahlen, etwa …. Der nach § 94 definierte Kreiskörper der -ten Einheitswurzeln entsteht dann, wie dort ausgeführt worden ist, durch Zusammensetzung der Kreiskörper , , … der -ten, der -ten‚ … Einheitswurzeln. Da die Diskriminanten der letzteren Kreiskörper zueinander prim sind, so folgt aus Satz 87 (§ 52) unmittelbar die Tatsache:
Satz 123. Der Grad des Körpers der …-ten Einheitswurzeln ist:
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.
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Wenden wir die zweite Aussage in Satz 88 auf die Kreiskörper ‚ , … an und beachten den Satz 121, so folgt das weitere Resultat:
Satz 124. Der Kreiskörper der -ten Einheitswurzeln besitzt die Basis:
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, , , …, .
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