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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.25

25. Das Reziprozitätsgesetz für ${\boldsymbol {l}}$-te Potenzreste zwischen einer rationalen Zahl und einer Zahl des Körpers der ${\boldsymbol {l}}$-ten Einheitswurzeln.

§ 113. Der Potenzcharakter einer Zahl und das Symbol $\left\lbrace {\frac {\alpha }{\mathfrak {p}}}\right\rbrace$.

Es sei $l$ eine ungerade Primzahl, $\zeta =\mathrm {e} ^{\frac {2i\pi }{l}}$‚ und $k(\zeta )$ bezeichne den durch $\zeta$ bestimmten Kreiskörper. Ist dann $p$ eine rationale, von $l$ verschiedene Primzahl und ${\mathfrak {p}}$ ein in $p$ aufgehendes Primideal in $k(\zeta )$, und ist $f$ der Grad von ${\mathfrak {p}}$‚ so gilt nach Satz 24 für jede nicht durch ${\mathfrak {p}}$ teilbare ganze Zahl $\alpha$ des Körpers $k(\zeta )$ die Kongruenz

$\alpha ^{p^{f}-1}-1\equiv 0,\qquad ({\mathfrak {p}})$.

Da $p^{f}-1$ nach Satz 119 durch $l$ teilbar ist, so gestattet die linke Seite dieser Kongruenz die Zerlegung

$\alpha ^{p^{f}-1}-1=\prod \limits _{(c)}\left(\alpha ^{\frac {p^{f}-1}{l}}-\zeta ^{c}\right)$,

wo das Produkt über die Werte $c=0,\ 1,\ldots ,\ l-1$ zu erstrecken ist. Hieraus folgt, daß für einen und jedenfalls auch nur einen Wert $c$ die Kongruenz

$\alpha ^{\frac {p^{f}-1}{l}}\equiv \zeta ^{c},\qquad ({\mathfrak {p}})$

erfüllt ist. Man nennt die hier auftretende Einheitswurzel $\zeta ^{c}$ den Potenzcharakter der Zahl ${\boldsymbol {\alpha }}$ in Bezug auf das Primideal ${\mathfrak {p}}$ im Körper $k(\zeta )$ und bezeichnet diese Einheitswurzel $\zeta ^{c}$ durch das Symbol

$\left\lbrace {\frac {\alpha }{\mathfrak {p}}}\right\rbrace$,

so daß die Kongruenz

$\alpha ^{\frac {p^{f}-1}{l}}\equiv \left\lbrace {\frac {\alpha }{\mathfrak {p}}}\right\rbrace ,\qquad ({\mathfrak {p}})$

(45)

gilt [Kummer (10^[1])].

Sind $\alpha$ und $\beta$ zwei durch ${\mathfrak {p}}$ nicht teilbare ganze Zahlen in $k(\zeta )$, so besteht, wie hieraus leicht ersichtlich, die Gleichung

$\left\lbrace {\frac {\alpha \beta }{\mathfrak {p}}}\right\rbrace =\left\lbrace {\frac {\alpha }{\mathfrak {p}}}\right\rbrace \left\lbrace {\frac {\beta }{\mathfrak {p}}}\right\rbrace$.

Wenn insbesondere die ganze Zahl $\alpha$ nach dem Primideal ${\mathfrak {p}}$ der $l$-ten Potenz einer ganzen Zahl in $k(\zeta )$ kongruent ist, so heißt $\alpha$ ein $l$-ter Potenzrest nach dem Primideal ${\boldsymbol {\mathfrak {p}}}$ . Es gilt die Tatsache:

Satz 139. Bedeutet ${\mathfrak {p}}$ ein von ${\mathfrak {l}}=(1-\zeta )$ verschiedenes Primideal und $\alpha$ eine ganze zu ${\mathfrak {p}}$ prime Zahl in $k(\zeta )$, so ist $\alpha$ dann und nur dann $l$-ter Potenzrest nach ${\mathfrak {p}}$, wenn $\left\lbrace {\frac {\alpha }{\mathfrak {p}}}\right\rbrace =1$ ausfällt.

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1. Über allgemeine Reziprozitätsgesetze für beliebig hohe Potenzreste. Ber. K. Akad. Wiss. Berlin 1850.^{[WS 1]}

Anmerkungen (Wikisource)

1. Kummer, Ernst Eduard: Die allgemeinen Reziprocitätsgesetze für beliebig hohe Potenzreste, in: Bericht über die zur Bekanntmachung geeigneten Verhandlungen der Königlich Preussischen Akademie, 1850, S. 154–165 Berlin-Brandenburgische Akademie

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 228. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/245&oldid=- (Version vom 2.7.2016)