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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.29

ersten Grades in $k({\mathsf {M}},\ \zeta )$ wird, so können wir diese ganze Zahl kongruent $a$ nach ${\mathfrak {L}}$ setzen, so daß $a$ eine ganze rationale Zahl bedeutet; dann folgt, wenn $N_{k}$ als Bezeichnung der Relativnorm in bezug auf $k(\zeta )$ dient, die Kongruenz

$N_{k}\left({\frac {\alpha -{\mathsf {M}}^{\ast }}{\lambda }}-a\right)\equiv 0,\qquad ({\mathfrak {l}}),$

d. h.

$(\alpha -a\lambda )^{l}-\mu ^{\ast }\equiv 0,\qquad \left({\mathfrak {l}}^{l+1}\right);$

es ist mithin $\left\lbrace {\frac {\mu ^{\ast }}{\mathfrak {l}}}\right\rbrace =\left\lbrace {\frac {\mu }{\mathfrak {l}}}\right\rbrace =1$. Diese Tatsachen beweisen auch für das Primideal ${\mathfrak {l}}$ den letzten Teil des Satzes 149.

Durch den Satz 149 haben wir ein einfaches Mittel erlangt, um die im Beweise des Satzes 93 aufgezählten drei Arten von Primidealen eines Körpers in Hinsicht auf einen relativ-zyklischen Oberkörper von einem Primzahlrelativgrade für den vorliegenden Fall der Körper $k({\mathsf {M}},\ \zeta )$ und $k(\zeta )$ zu unterscheiden.

29. Die Normenreste und Normennichtreste des Kummerschen Körpers.

§ 129. Die Definition der Normenreste und Normennichtreste.

Es sei, wie in § 125, $\mu$ eine Zahl des Kreiskörpers $k(\zeta )$‚ für welche ${\mathsf {M}}={\sqrt[{l}]{\mu }}$ nicht in $k(\zeta )$ liegt, und es bedeute $k({\mathsf {M}},\ \zeta )$ den durch ${\mathsf {M}}$ und $\zeta$ bestimmten Kummerschen Körper; für eine Zahl ${\mathsf {A}}$ in $k({\mathsf {M}},\ \zeta )$ werde die Relativnorm in bezug auf $k(\zeta )$ mit $N_{k}({\mathsf {A}})$ bezeichnet. Es sei ${\mathfrak {w}}$ ein beliebiges Primideal des Kreiskörpers $k(\zeta )$ und $\nu$ eine beliebige ganze Zahl in $k(\zeta )$. Wenn dann $\nu$ nach ${\mathfrak {w}}$ der Relativnorm einer ganzen Zahl des Körpers $k({\mathsf {M}},\ \zeta )$ kongruent ist, und wenn außerdem auch für jede höhere Potenz von ${\mathfrak {w}}$ stets eine, solche ganze Zahl ${\mathsf {A}}$ im Körper $k({\mathsf {M}},\ \zeta )$ gefunden werden kann, daß $\nu \equiv N_{k}({\mathsf {A}})$ nach jener Potenz von ${\mathfrak {w}}$ ausfällt, so nenne ich $\nu$ einen Normenrest des Kummerschen Körpers $k({\mathsf {M}},\ \zeta )$ nach ${\mathfrak {w}}$. In jedem anderen Falle nenne ich $\nu$ einen Normennichtrest des Kummerschen Körpers $k({\mathsf {M}},\ \zeta )$ nach ${\mathfrak {w}}$.

§ 130. Der Satz von der Anzahl der Normenreste. Die Verzweigungsideale.

Es gilt der folgende wichtige Satz:

Satz 150. Wenn ${\mathfrak {w}}$ ein Primideal des Kreiskörpers $k(\zeta )$ ist, das nicht in der Relativdiskriminante des Kummerschen Körpers $k({\mathsf {M}},\ \zeta )$ aufgeht, so ist jede zu ${\mathfrak {w}}$ prime Zahl $\nu$ in $k(\zeta )$ Normenrest des Kummerschen Körpers $k({\mathsf {M}},\ \zeta )$ nach ${\mathfrak {w}}$.

Wenn dagegen ${\mathfrak {w}}$ ein Primideal des Kreiskörpers $k(\zeta )$ ist, das in der Relativdiskriminante des Kummerschen Körpers $k({\mathsf {M}},\ \zeta )$ aufgeht, und $e$ im Falle ${\mathfrak {w}}\neq {\mathfrak {l}}$ ein beliebiger positiver Exponent, im Falle ${\mathfrak {w}}={\mathfrak {l}}$ ein beliebiger Erxponent $>l$ ist, so sind von allen vorhandenen, zu ${\mathfrak {w}}$ primen und nach ${\mathfrak {w}}^{e}$ einander inkongruenten Zahlen in $k(\zeta )$ genau der $l$-te Teil Normenreste nach ${\mathfrak {w}}$.

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 257. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/274&oldid=- (Version vom 9.12.2022)