Die Gleichungen (187) können infolgedessen und mit Rücksicht auf Satz 127 (S. 204) in der Gestalt
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(189)
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geschrieben werden, wo die gewisse ganzzahlige Exponenten, die geeignete reelle Einheiten des Kreiskörpers und die gewisse ganze oder gebrochene Zahlen mit zu primen Zählern und Nennern in bedeuten. Da die -te Potenz der Zahl jedesmal kongruent einer gewissen ganzen rationalen Zahl nach ist, so erhalten wir aus den Gleichungen (189) die Kongruenzen
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(190)
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Auf diese Kongruenzen wenden wir die Substitution an und bezeichnen die bei dieser Substitution aus und hervorgehenden Zahlen mit und ; dann entsteht
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(191)
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Aus (190) und (191) folgt
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(192)
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Setzen wir , nach , wo und ganze rationale Zahlen bedeuten sollen, so folgt aus (192)
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(193)
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und wegen der allgemeinen Beziehung nach liefert (193) die Kongruenz:
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Andererseits folgt aus der Gleichung (188) nach , und daher haben wir
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Nehmen wir nun unter Berücksichtigung dieser Beziehung speziell die Kongruenzen (192) für , so folgt aus diesen durch Elimination der
Zahlen notwendig
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d. i.
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(194)
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Hier ist auf der linken Seite keiner der Faktoren gleich , denn sonst müßte entweder oder oder nach sein. Wäre nach , so