Seite:David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Bd 1.djvu/399

	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 9.I

erfüllt sind. Nun können wir wegen der Gleichheit der Normen $n({\mathfrak {p}})$ und $N({\mathfrak {P}})$, wie im Beweise zu Satz 7 und zu Satz 9, jede ganze Zahl in $K({\sqrt {\mu }})$ einer ganzen Zahl des Körpers $k$ nach ${\mathfrak {P}}$ kongruent setzen; es sei demgemäß

${\mathsf {A}}_{1}\equiv \alpha _{1}$, ${\mathsf {A}}_{2}\equiv \alpha _{2}$, $({\mathfrak {P}})$,

(2)

wo $\alpha _{1}$, $\alpha _{2}$ ganze Zahlen in $k$ sind. Wenn wir dann zur Abkürzung

${\mathsf {A}}=\alpha _{1}+\alpha _{2}{\sqrt {\mu }}$

setzen, so folgt wegen (2) durch Multiplikation der Kongruenzen (1) die Kongruenz

$\nu \equiv N({\mathsf {A}})$, $({\mathfrak {P}})$

und da beide Seiten dieser Kongruenz ganze Zahlen in $k$ sind, so gilt sie auch nach dem Modul ${\mathfrak {p}}$. Um zu beweisen, daß die Kongruenz $\nu \equiv N(\Xi )$ durch geeignete Wahl der ganzen Zahl $\Xi$ in $K({\sqrt {\mu }})$ auch nach jeder Potenz ${\mathfrak {p}}^{e}$ des Primideals ${\mathfrak {p}}$ lösbar ist, zeigen wir, wie im Beweise zu Satz 9, die Existenz einer Zahl $\xi$, welche der Kongruenz

${\frac {\nu }{N({\mathsf {A}})}}\equiv \xi ^{2}$, $({\mathfrak {p}}^{e})$

genügt; dann ist offenbar $\nu \equiv N(\xi {\mathsf {A}})$ nach ${\mathfrak {p}}^{e}$.

Es sei andererseits ${\mathfrak {p}}$ im Körper $K({\sqrt {\mu }})$ nicht weiter zerlegbar und somit nach Satz 7 die Zahl $\mu$ quadratischer Nichtrest nach ${\mathfrak {p}}$. Nach Satz 2 gibt es in $k$ genau $f={\frac {n({\mathfrak {p}})-1}{2}}$ quadratische Reste nach ${\mathfrak {p}}$; es seien diese durch die Quadratzahlen $\alpha _{1}^{2}$, $\alpha _{2}^{2}$, …, $\alpha _{f}^{2}$ vertreten. Wir unterscheiden nun zwei Fälle, je nachdem die Zahl $-1$ quadratischer Rest oder Nichtrest nach ${\mathfrak {p}}$ ist.

Im ersteren Falle sind wegen unserer Annahme über $\mu$ die $n({\mathfrak {p}})-1$ Zahlen

$\alpha _{1}^{2},\alpha _{2}^{2},\ldots ,\alpha _{f}^{2}$, $-\alpha _{1}^{2}\mu ,-\alpha _{2}^{2}\mu ,\ldots ,-\alpha _{f}^{2}\ \mu$

(3)

sämtlich nach ${\mathfrak {p}}$ untereinander inkongruent. Es ist daher jede zu ${\mathfrak {p}}$ prime ganze Zahl in $k$ einer der Zahlen (3) nach ${\mathfrak {p}}$ kongruent. Die Zahlen (3) sind bez. die Relativnormen der Zahlen

$\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{f}$, $\alpha _{1}{\sqrt {\mu }},\alpha _{2}{\sqrt {\mu }},\ldots ,\alpha _{f}{\sqrt {\mu }}$

und es ist mithin jede zu ${\mathfrak {p}}$ prime Zahl in $k$ der Relativnorm einer geeigneten ganzen Zahl in $K({\sqrt {\mu }})$ nach ${\mathfrak {p}}$ kongruent.

Ist $-1$ quadratischer Nichtrest nach ${\mathfrak {p}}$, so wird $-\mu$ quadratischer Rest nach ${\mathfrak {p}}$; es sei $-\mu \equiv \beta ^{2}$ nach ${\mathfrak {p}}$, wo $\beta$ eine ganze Zahl in $k$ bedeutet. In der Reihe der ganzen rationalen positiven Zahlen

$1,2,3,\ldots ,n({\mathfrak {p}})-1$

ist die letzte Zahl Nichtrest nach ${\mathfrak {p}}$; es sei $r$ die erste Zahl dieser Reihe, auf welche ein Nichtrest des Primideals ${\mathfrak {p}}$ folgt. Wir setzen $r\equiv \alpha ^{2}$ nach ${\mathfrak {p}}$, wo $\alpha$ eine ganze Zahl in $k$ bedeutet: dann ist die ganze Zahl $\alpha ^{2}\beta ^{2}-\mu$ wegen

$\alpha ^{2}\beta ^{2}-\mu \equiv r\beta ^{2}+\beta ^{2}\equiv (r+1)\beta ^{2}$, $({\mathfrak {p}})$

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 382. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/399&oldid=- (Version vom 9.9.2019)