ausfällt; endlich setzen wir
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so daß , ..., gewisse ganze Zahlen des Körpers bedeuten: dann gilt für jede beliebige zu prime ganze Zahl in nach dem Modul eine Kongruenz von der Gestalt
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,
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worin die Exponenten , ..., , , ..., gewisse Werte , haben und eine geeignete ganze Zahl in ist.
Beweis. Wir behandeln zunächst die Annahme, es gäbe Exponenten , ..., , , ..., , die gewisse Werte , haben, aber nicht sämtlich gleich sind, derart, daß die vermöge dieser Exponenten gebildete Zahl
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(1)
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dem Quadrat einer ganzen Zahl in nach dem Modul kongruent werde. Die Zahl bestimmt, wie leicht ersichtlich, einen relativquadratischen Körper in bezug auf . Zufolge des Satzes 5 ist die Relativdiskriminante dieses Körpers prim zu und nach Satz 4 besitzt sie diejenigen von den Primidealen , ..., zu Faktoren, für welche in (1) die betreffenden Exponenten , ..., gleich werden. Wegen Satz 27 ist die Anzahl dieser Primideale mindestens gleich ; es seien etwa die Primideale , ..., diejenigen, die in der Relativdiskriminante des Körpers als Faktoren enthalten sind.
Ist nun irgendeine Einheit in , die gleich der Relativnorm einer Einheit in gesetzt werden kann, und bringen wir in die Gestalt
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wo die Exponenten , ..., gewisse Werte , haben und eine Einheit in bedeutet, so folgt aus Definition 6 unmittelbar
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für und, da nach Satz 9 mit Rücksicht auf unsere über , ..., gemachten Voraussetzungen
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