und da zu prim ist, so erweist sich mithin als Normenrest des Körpers nach .
Wir haben also bewiesen, daß allemal, wenn ist, auch sein muß. Da nun aus denselben Gründen umgekehrt aus , wenn nicht das Quadrat einer Zahl in ist, allemal auch gefolgert werden kann, so ist damit die Richtigkeit des Satzes 47 für den Fall gezeigt, daß keine der beiden Zahlen , das Quadrat einer Zahl in ist.
Nehmen wir an, es sei eine jener beiden Zahlen, etwa die Zahl , dagegen nicht das Quadrat einer ganzen Zahl in , so ist nach Definition 6 , und die Voraussetzung des zu beweisenden Satzes 47 fordert dann, daß kongruent dem Quadrat einer ganzen Zahl in nach sein muß; wir wollen im folgenden den Nachweis dafür führen, daß in diesem Falle auch stets ausfällt.
Zu dem Zwecke bezeichnen wir wie in Satz 40 mit , , …, die sämtlichen voneinander verschiedenen in aufgehenden Primideale, und es möge ferner allgemein genau zur -ten Potenz in aufgehen, so daß
|
|
wird; wir nehmen und setzen . Sodann bestimmen wir eine ganze Zahl in , welche den Kongruenzen
|
(5)
|
genügt und, nachdem dies geschehen, ein Primideal in , für welches die Gleichungen
|
(6)
|
gelten; hierbei sollen , …, , , …, die Bedeutung wie in Satz 42 haben. Da wegen (6)
|
|
wird, so können wir nach Satz 43 eine ganze Zahl derart bestimmen, daß das