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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 9.II

Es sei nun ${\mathfrak {J}}$ irgendein Ideal in $K\left({\sqrt {\pi }}\right)$ und ${\mathfrak {j}}=N({\mathfrak {J}})$ die Relativnorm von ${\mathfrak {J}}$; wir setzen ferner ${\mathfrak {j}}^{h}=(\iota )$, wo $\iota$ eine ganze Zahl in $k$ bedeutet: fällt dann $\left({\frac {\iota }{\mathfrak {p}}}\right)=+1$ aus, so bezeichnen wir denjenigen Komplex des Körpers $K\left({\sqrt {\pi }}\right)$, zu welchem ${\mathfrak {J}}$ gehört, als einen Komplex des Hauptgeschlechtes in $K\left({\sqrt {\pi }}\right)$. Wir können leicht beweisen, daß nicht sämtliche Komplexe in $K\left({\sqrt {\pi }}\right)$ Komplexe des Hauptgeschlechtes sind. Es sei nämlich ${\mathfrak {r}}$ ein Primideal ${\mathfrak {r}}$ in $k$, für welches

$\left({\frac {\pi }{\mathfrak {r}}}\right)=+1$ und $\left({\frac {\pi ^{*}}{\mathfrak {r}}}\right)=-1$

ausfällt. Wegen der ersteren Gleichung ist ${\mathfrak {r}}$ in $K\left({\sqrt {\pi }}\right)$ weiter zerlegbar; es bedeute ${\mathfrak {R}}$ einen Primfaktor von ${\mathfrak {r}}$ in $K({\sqrt {\pi }})$. Wird ${\mathfrak {r}}^{h}=(\varrho )$ gesetzt, wo $\varrho$ eine ganze Zahl in $k$ darstellt, so erhalten wir nach Satz 37

$\left({\frac {\varrho }{\mathfrak {p}}}\right)=\left({\frac {\pi ^{*}}{\mathfrak {r}}}\right)=-1$,

und diese Gleichung zeigt, daß der durch ${\mathfrak {R}}$ bestimmte Komplex in $K\left({\sqrt {\pi }}\right)$ nicht ein Komplex des Hauptgeschlechtes ist.

Wir bezeichnen nun mit $f'$ die Anzahl derjenigen Komplexe in $K\left({\sqrt {\pi }}\right)$, welche Quadrate von Komplexen in $K\left({\sqrt {\pi }}\right)$ sind, und mit $f$ die Anzahl aller Komplexe des Hauptgeschlechtes in $K\left({\sqrt {\pi }}\right)$; dann erkennen wir genau wie im Beweise zu Satz 25 die Richtigkeit der Gleichung

$Af^{'}=2f$.

(4)

Aus dieser Gleichung folgt wegen $A\leqq 2$ die Ungleichung $f\leqq f'$. Da ferner jedes Quadrat eines Komplexes notwendig ein Komplex des Hauptgeschlechtes sein muß, so ist auch $f'\leqq f$ und mithin haben wir $f=f'$, d. h. jeder Komplex des Hauptgeschlechtes ist gleich dem Quadrat eines Komplexes. Aus $f=f'$ folgt ferner wegen (4) zugleich $A=2$ und $a=1$; mit Rücksicht auf Satz 23 entnehmen wir hieraus $v=\textstyle {\frac {m}{2}}$, d. h. jede Einheit des Körpers $k$ ist gleich der Relativnorm einer ganzen oder gebrochenen Zahl des Körpers $K\left({\sqrt {\pi }}\right)$.

Um nun zu zeigen, daß $\varkappa$ gleich der Relativnorm einer Zahl in $K\left({\sqrt {\pi }}\right)$ ist, bedenken wir, daß wegen (1) das Primideal ${\mathfrak {q}}$ in $K\left({\sqrt {\pi }}\right)$ weiter zerlegbar ist; die Gleichung (3) zeigt sodann, daß jedes in ${\mathfrak {q}}$ enthaltene Primideal ${\mathfrak {Q}}$ des Körpers $K\left({\sqrt {\pi }}\right)$ einem Komplex des Hauptgeschlechtes angehört, und da nach dem vorhin Bewiesenen jeder solche Komplex gleich dem Quadrat eines Komplexes ist, so genügt das Ideal ${\mathfrak {Q}}$ einer Gleichung von der Gestalt

${\mathfrak {Q}}={\mathfrak {J}}^{2}{\mathsf {A}}{\mathfrak {j}}$,

wobei ${\mathfrak {J}}$ ein Ideal in $K\left({\sqrt {\pi }}\right)$, ${\mathsf {A}}$ eine Zahl in $K\left({\sqrt {\pi }}\right)$ und ${\mathfrak {j}}$ ein Ideal in $k$ bedeutet. Bilden wir nun auf beiden Seiten dieser Gleichung die Relativnorm und erheben sie dann in die $h$-te Potenz, so entsteht eine Gleichung von der Gestalt

$(\varkappa )=N({\mathsf {A}})\{N({\mathfrak {J}})\cdot {\mathfrak {j}}\}^{2h}=N({\mathsf {A}})(\gamma )^{2}$,

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 461. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/478&oldid=- (Version vom 9.9.2019)