Wir erkennen wiederum leicht, daß dem soeben definierten Symbol die Eigenschaft
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![{\displaystyle \left[{\frac {\sigma \sigma '}{1+i:\delta }}\right]=\left[{\frac {\sigma }{1+i:\delta }}\right]\left[{\frac {\sigma '}{1+i:\delta }}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/377d79489aa755226e38817417e6186e59df2008)
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zukommt, wo 
, 
beliebige Zahlen des Körpers 
sind.
Im folgenden werden die sämtlichen 
in der Partialdiskriminante 
aufgehenden Primzahlen mit 
, …, 
bezeichnet. Unser Symbol ordnet dann einer jeden beliebigen Zahl des Körpers 
die Vorzeichen
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![{\displaystyle \left[{\frac {\sigma }{\lambda _{1}:\delta }}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20b180d555c5dd2d462985c4f84d78eb9f4b560f) , …, ![{\displaystyle \left[{\frac {\sigma }{\lambda _{s}:\delta }}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30e4c468283cb6a241e1744d7d3aa285016e2acd)
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zu, welche das Charakterensystem der Zahl im Dirichletschen Körper heißen mögen. Um ferner vermittels unseres Symbols einem jeden Ideal 
in ein bestimmtes Vorzeichensystem zuzuordnen, bilden wir 
. Dieses Produkt ist gleich einer Zahl 
in ; dieselbe werde die Partialnorm des Ideals genannt. Da diese Partialnorm nur bis auf hinzutretende Einheitsfaktoren bestimmt ist, so bedarf es für unseren Zweck der Unterscheidung zweier Fälle, je nachdem das Charakterensystem des Einheitsfaktors 
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![{\displaystyle \left[{\frac {i}{\lambda _{1}:\delta }}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09cc2d406b6c6281a3e7d47b9b40124e633c0d06) , …, ![{\displaystyle \left[{\frac {i}{\lambda _{s}:\delta }}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79c5cf776eed4396e6a99b849ef6b73a94726111)
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aus lauter positiven Vorzeichen besteht oder ein negatives Vorzeichen enthält. Im ersteren Falle sind offenbar die Vorzeichen
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![{\displaystyle \left[{\frac {\nu ({\mathfrak {J}})}{\lambda _{1}:\delta }}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15ba5bf2ad8a73901897b71319c05bbf0f82864e) , …, ![{\displaystyle \left[{\frac {\nu ({\mathfrak {J}})}{\lambda _{s}:\delta }}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/529cc6f11d119a673d6b589a86d8a56edd42727e)
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für das Ideal sämtlich eindeutig bestimmt. Das System dieser Vorzeichen werde das Charakterensystem des Ideals genannt. Im zweiten Falle nehmen wir an, es sei etwa ![{\displaystyle \left[{\frac {i}{\lambda _{s}:\delta }}\right]=-1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89263610bf28b9fe5c771465f74f2b805e722514)
; wählen wir dann den Wert der Partialnorm derart, daß ![{\displaystyle \left[{\frac {\nu ({\mathfrak {J}})}{\lambda _{s}:\delta }}\right]=+1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec19fc3c2d65d5007e8b8cc4dcc1719a3397b3bb)
wird, so sind die 
Vorzeichen
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, …, ![{\displaystyle \left[{\frac {\nu ({\mathfrak {J}})}{\lambda _{s-1}:\delta }}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8975a54af4a12dacebaf24d1011bc9262ea8cb82)
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sämtlich durch eindeutig bestimmt und heißen das Charakterensystem des Ideals .
Die Ideale derselben Klasse besitzen notwendig das gleiche Charakterensystem.
Ist nämlich 
mit äquivalent, so gibt es in eine ganze oder gebrochene Zahl 
derart, daß 
ist. Hieraus folgt 
und daher wird ![{\displaystyle \textstyle \left[{\frac {\nu ({\mathfrak {J}}')}{\lambda :\delta }}\right]=\left[{\frac {\nu ({\mathfrak {J}})}{\lambda :\delta }}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/681cb0860488bc5620c31ec9c6c9602f0db3d45e)
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Auf die dargelegte Weise ist einer jeden Idealklasse ein bestimmtes Charakterensystem zugeordnet. Wir rechnen nun alle diejenigen Idealklassen, welche das gleiche Charakterensystem besitzen, in ein Geschlecht und definieren
