erfüllt sind, wobei , , …, , , , …, die in Satz42 erklärte Bedeutung haben mögen. Da im Körper unzerlegbar sein soll, so ist nach Satz 4 und 6 kongruent dem Quadrat einer ganzen Zahl in nach dem Modul und folglich wegen (1) auch nach ; mithin gelten nach Satz 39 die Gleichungen
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und wegen (3) ist daher ein primäres Primideal. Bezeichnet eine Primärzahl von , so ist, wie man aus (3), (4) vermöge Satz 43 unter Hinzuziehung von Satz 28 erkennt, dem Quadrat einer ganzen Zahl in nach kongruent; es ist folglich wegen (1) gewiß dem Quadrat einer ganzen Zahl in nach kongruent und nach Satz 8 zerfällt daher jedes der Primideale , , …, im Körper in zwei Primfaktoren. Im Beweise zu Satz 34 ist gezeigt worden, daß alle Ideale des Körpers dem Hauptgeschlechte angehören. Die Charaktere der in , , …, enthaltenen Primfaktoren des Körpers müssen somit sämtlich sein, d. h. es gelten die Gleichungen
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Würde nun auch ausfallen, so müßte nach Satz 43 die Primärzahl und folglich auch die Zahl kongruent dem Quadrat einer ganzen Zahl in nach sein und dann zerfiele nach Satz 8 das Primideal im Körper in zwei Primfaktoren, was unserer Annahme entgegen ist. Es ist mithin notwendigerweise
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(5)
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Nunmehr setzen wir
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,
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so daß prim zu ist und , …, gewisse ganze rationale Exponenten bedeuten; es folgt dann
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,
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wobei eine zu prime ganze Zahl in darstellt. Nach Satz 40 haben wir
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Ferner ist mit Rücksicht auf (2)
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;
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es wird daher
.
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(6)
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