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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie

§ 8.

Im weiteren Verlaufe dieser Untersuchung wollen wir für einige andere Fälle die Gesetze der Zerlegung der Primideale des Grundkörpers $k$ im Klassenkörper $Kk$ genau erörtern und die Beweise der aufgestellten Behauptungen erbringen. Es mögen in diesem Paragraphen für die Grundkörper $k$ folgende spezielle Annahmen gelten:

1. Unter den $m$ konjugierten Körpern $k,k',k'',\dots ,k^{(m-1)}$ gebe es eine beliebige Anzahl $s$ reeller Körper.

2. Die Anzahl $h$ der Idealklassen des Körpers $k$, im ursprünglichen weiteren Sinne, stimme mit der im engeren Sinne verstandenen Klassenanzahl ${\overline {h}}$ überein und sei gleich $2$.

Unter diesen Annahmen ist der Klassenkörper $Kk$ relativquadratisch und besitzt folgende Eigenschaften:

Satz 9a. Der Klassenkörper $Kk$ ist unverzweigt in bezug auf $k$, d. h. er hat die Relativdiskiminante $1$ in bezug auf $k$.

Satz 9b. Die Klassenanzahl $H$ und ${\overline {H}}$ des Klessenkörpers $Kk$, im weiteren sowie im engeren Sinne verstanden, sind ungerade ($H={\overline {H}}$).

Satz 9c. Diejenigen Primideale in $k$, welche in $k$ Hauptideale sind, zerfallen in $Kk$ in das Produkt zweier Primideale. Diejenigen Primideale in $k$, welche in $k$ nicht Hauptideale sind, bleiben in $Kk$ Primideale; sie werden jedoch in $Kk$ Hauptideale.

Von diesen drei Eigenschaften 9a, 9b, 9c charakterisiert jede für sich allein bei unseren Annahmen über den Körper $k$ in eindeutiger Weise den Klassenkörper $Kk$; wir haben somit die Sätze:

Satz 10a. Es gibt außer $Kk$ keinen anderen relativquadratischen Körper, der in bezug auf $k$ unverzweigt ist.

Satz 10b. Wenn ein zu $k$ relativquadratischer Körper eine ungerade Klassenzahl hat, so stimmt derselbe mit dem Klassenkörper $Kk$ überein.

Satz 10c. Wenn alle Primideale in $k$, die in $k$ Hauptideale sind, in einem relativquadratischen Körper zerfallen, oder wenn alle Primideale in $k$, die in $k$ nicht Hauptideale sind, in einem relativquadratischen Körper Primideale bleiben, so folgt jedesmal, daß dieser relativquadratische Körper kein anderer als der Klassenkörper $Kk$ ist.

§ 9.

Um die Existenz des Klassenkörpers $Kk$ und sodann die Sätze 9a, 9b, 9c zu beweisen, machen wir der Kürze halber die Annahme, daß der Grundkörper $k$ und seine sämtlichen konjugierten Körper imaginär sind und nennen dann wie in § 3 eine ganze Zahl in $k$ primär wenn sie zu $2$ prim ist und dem Quadrat einer ganzen Zahl in $k$ nach dem Modul $2^{2}$ kongruent ausfällt.

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 491. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/508&oldid=- (Version vom 31.7.2018)