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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie

Hilfssatz 4 Wenn ${\mathfrak {p}}$ ein Primideal des Körpers $k$ bedeutet, für welches

$\left({\frac {\omega }{\mathfrak {p}}}\right)=+1$

(17)

ausfällt, so ist ${\mathfrak {p}}$ stets im Körper $k$ ein Hauptideal.

Zum Beweise bedenken wir, daß wegen der Voraussetzung (17) das Primideal ${\mathfrak {p}}$ im Körper $K\left({\sqrt {\omega }}\right)$ zerlegbar sein muß; wir setzen

${\mathfrak {p}}={\mathfrak {P}}\cdot S{\mathfrak {P}}$,

wo ${\mathfrak {P}},S{\mathfrak {P}}$ zueinander relativkonjugierte Ideale in $K\left({\sqrt {\omega }}\right)$ sind und verstehen dann mit Rücksicht auf Hilfssatz 3 unter $u$ einen solchen ungeraden Potenzexponenten, daß ${\mathfrak {P}}^{u}$ einem Ideal ${\mathfrak {j}}$ in $k$ äquivalent wird. Hieraus folgt offenbar

${\mathfrak {p}}^{u}\sim {\mathfrak {j}}^{2}\sim 1\quad$, d. h. $\quad {\mathfrak {p}}\sim 1$.

§ 11.

Der gewünschte Nachweis für die Existenz der Klassenkörper mit den Eigenschaften 9a, 9b, 9c gelingt mittelst der folgenden Schlüsse. Wir wählen an Stelle der in § 9 bestimmten den Bedingungen (1) genügenden Primideale ${\mathfrak {q}}_{1},\dots ,{\mathfrak {q}}_{{\frac {m}{2}}+1}$ irgend ${\frac {m}{2}}+1$ andere zu $2$ prime Primideale ${{\mathfrak {q}}'}_{1},\dots ,{{\mathfrak {q}}'}_{{\frac {m}{2}}+1}$ mit den entsprechenden Eigenschaften

$\left({\frac {\varepsilon _{i}}{{{\mathfrak {q}}'}_{i}}}\right)=-1,\qquad \left({\frac {\varepsilon _{j}}{{{\mathfrak {q}}'}_{i}}}\right)=+1,\qquad (i\neq j),\qquad \left(i,j=1,2,\dots ,{\frac {m}{2}}+1\right)$

und wählen wiederum die Exponenten ${\omega '}_{1},\dots ,{\omega '}_{{\frac {m}{2}}+1}$ in geeigneter Weise so, daß

${{\mathfrak {q}}'}_{1}{\mathfrak {r}}^{{\omega '}_{1}}=\left({\kappa '}_{1}\right),\dots ,{{\mathfrak {q}}'}_{{\frac {m}{2}}+1}{\mathfrak {r}}^{{\omega '}_{{\frac {m}{2}}+1}}=\left({\kappa '}_{{\frac {m}{2}}+1}\right)$

und darin ${\kappa '}_{1},\dots ,{\kappa '}_{{\frac {m}{2}}+1}$ ganze Zahlen in $k$ sind; sodann denken wir uns die sämtlichen Schlußfolgerungen in § 9 bis § 10 für das neue System von Primidealen ${{\mathfrak {q}}'}_{1},\dots ,{{\mathfrak {q}}'}_{{\frac {m}{2}}+1},$ wiederholt. Auf diese Weise gelangen wir zu einem Ausdruck

$\omega '=\varepsilon '{\kappa '}_{1}^{{v'}_{1}}\cdots {\kappa '}_{{\frac {m}{2}}+1}^{{v'}_{{\frac {m}{2}}+1}}$,

(18)

in dem $\varepsilon '$ eine gewisse Einheit in $k$ und ${v'}_{1},\dots ,{v'}_{{\frac {m}{2}}+1}$ gewisse Exponenten $0,1$ bedeuten; falls wir wie vorhin annehmen, daß die Exponenten ${v'}_{1},\dots ,{v'}_{{\frac {m}{2}}+1}$ nicht sämtlich gleich $0$ ausfallen, folgern wir wiederum für den Körper $K\left({\sqrt {\omega }}\right)$

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David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 498. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/515&oldid=- (Version vom 31.7.2018)