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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie

Aus der soeben erkannten Tatsache, daß der Ausdruck (24) außer der Zahl $1$ niemals eine primäre Zahl darstellen kann, ziehen wir leicht durch ein ähnliches Schlußverfahren, wie wir es früher angewandt haben, diese Folgerung: wenn $\kappa$ eine beliebige zu $2$ prime ganze Zahl in $k$ ist, so läßt sich stets ein System von Exponenten $u_{1}^{*},\dots ,u_{\frac {m}{2}}^{*},v_{1},\dots ,v_{\frac {m}{2}}$ finden, derart, daß der Ausdruck

${\kappa \varepsilon ^{*}}_{1}^{u_{1}^{*}}\cdots {\varepsilon ^{*}}_{\frac {m}{2}}^{u_{\frac {m}{2}}^{*}}\pi _{1}^{v_{1}}\cdots \pi _{\frac {m}{2}}^{v_{\frac {m}{2}}}$

(25)

eine primäre Zahl in $k$ darstellt.

Es sei nun ${\mathfrak {q}}$ irgendein Primideal der Hauptklasse in $k$; wir setzen ${\mathfrak {q}}=(\kappa )$, wo $\kappa$ eine ganze Zahl in $k$ bedeutet und nehmen entgegen der zu beweisenden Behauptung an, es sei ${\mathfrak {q}}$ in $K\left({\sqrt {\omega }}\right)$ unzerlegbar. Wir bilden für die Zahl $\kappa$ den Ausdruck (25) und bezeichnen denselben mit $\alpha$. Endlich bestimmen wir in $k$ ein von ${\mathfrak {r}}$ verschiedenes Primideal ${\tilde {\mathfrak {r}}}$, welches in $k$ nicht Hauptideal ist, und eine Zahl $\sigma$ in $k$ so daß $\sigma ={\mathfrak {r}}{\tilde {\mathfrak {r}}}$ wird; wir setzen ${\overline {\omega }}={\frac {\omega \sigma ^{2}}{\rho ^{2}}}$ oder ${\overline {\omega }}=\omega$, je nachdem $\omega$ den Faktor ${\mathfrak {r}}^{2}$ enthält oder nicht.

Da nach Satz 9b der Körper $K\left({\sqrt {\omega }}\right)$ eine ungerade Klassenanzahl besitzt, so gilt mit Rücksicht darauf, daß $\alpha$ primär ist, nach dem in meiner Abhandlung für diesen Fall bewiesenen quadratischen Reziprozitätsgesetz die Formel

$\left\{{\frac {\alpha }{\sqrt {\overline {\omega }}}}\right\}=\left\{{\frac {\sqrt {\overline {\omega }}}{\alpha }}\right\};$

(26)

hierbei habe die geschwungene Klammer für den Körper $K\left({\sqrt {\omega }}\right)$ die entsprechende Bedeutung des quadratischen Restcharakters, wie die gewöhnliche Klammer für den Körper $k$. Das Hauptideal ${\sqrt {\overline {\omega }}}$ im Körper $K\left({\sqrt {\omega }}\right)$ ist entweder gleich $1$ oder gleich dem Primideal ${\tilde {\mathfrak {r}}}$. Fällt nun $\left({\frac {\alpha }{\tilde {\mathfrak {r}}}}\right)=+1$ aus, so ist gewiß auch $\left\{{\frac {\alpha }{\tilde {\mathfrak {r}}}}\right\}$. Ist $\left({\frac {\alpha }{\tilde {\mathfrak {r}}}}\right)=-1$, so wird wegen $\left({\frac {\omega }{\tilde {\mathfrak {r}}}}\right)=-1$ notwendig $\left({\frac {\alpha \omega }{\tilde {\mathfrak {r}}}}\right)=+1$ und um so mehr $\left\{{\frac {\alpha \omega }{\tilde {\mathfrak {r}}}}\right\}=+1$. Andererseits ist wegen $\omega =\left({\sqrt {\omega }}\right)^{2}$ notwendig $\left\{{\frac {\omega }{\tilde {\mathfrak {r}}}}\right\}=+1$ und folglich auch $\left\{{\frac {\alpha }{\tilde {\mathfrak {r}}}}\right\}=+1$. Wir haben also in jedem Falle gewiß $\left\{{\frac {\alpha }{\sqrt {\overline {\omega }}}}\right\}=+1$ und wegen (26) folgt hieraus

$\left\{{\frac {\sqrt {\overline {\omega }}}{\alpha }}\right\}=+1$.

(27)

Wenn $A$ irgendeine ganze zu ${\mathfrak {q}}$ prime Zahl in $K\left({\sqrt {\omega }}\right)$ bedeutet, so gelten nach dem Primideal ${\mathfrak {q}}$ des Körpers $k$, das auch in $K\left({\sqrt {\omega }}\right)$ Primideal bleiben

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 502. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/519&oldid=- (Version vom 31.7.2018)