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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 5

Im Hauptfalle IV setzen wir $\nu \equiv (1+i)\left(t_{\nu }t'_{\nu }t''_{\nu }\right)$ und $\delta \equiv (1+i)\left(t_{\delta }t'_{\delta }t''_{\delta }\right)$ nach $(1+i)^{6}$. Es wird dann

${\begin{aligned}\left[{\frac {\nu }{1+i:\delta }}\right]&=\left[{\frac {\nu \cdot \nu \left({\frac {1}{\sqrt {\delta }}}\right)}{1+i:\delta }}\right]=\left[{\frac {\left(t_{\nu }t'_{\nu }t''_{\nu }\right)\left(t_{\delta }t'_{\delta }t''_{\delta }\right)}{1+i:\delta }}\right]\\&=(-1)^{\left(t_{\nu }+t_{\delta }\right)t'_{\delta }+\left(t'_{\nu }+t'_{\delta }\right)t_{\delta }+t'_{\nu }+t'_{\delta }+t''_{\nu }+t''_{\delta }}\\&=(-1)^{t_{\nu }t'_{\delta }+t'_{\nu }t_{\delta }+t'_{\nu }+t'_{\delta }+t''_{\nu }+t''_{\delta }}.\end{aligned}}$

Denselben Wert erhalten wir auch für $\textstyle \left[{\frac {\delta }{1+i:\nu }}\right]$, und da das erstere Symbol den Wert $+1$ hat, so ist auch

$\left[{\frac {\delta }{1+i:\nu }}\right]=+1$.

Die eben vollendete Entwicklung zeigt, daß das Charakterensystem der Zahl $\delta$ in dem Körper $K_{\nu }$ aus lauter positiven Einheiten besteht.

Andrerseits ist $\delta$ in $K_{\nu }$ notwendig die Partialnorm eines Ideals; denn wenn $\lambda$ ein von $1+i$ verschiedener in $n$ nicht auigehender Primfaktor von $\delta$ ist, so ist, da alle Charaktere von $\nu$ in bezug auf den Körper $K_{\delta }$ gleich $+1$ sein sollen, notwendigerweise

$\left[{\frac {\nu }{\lambda :\delta }}\right]=\left[{\frac {\nu }{\lambda }}\right]=+1$,

und daher zerfällt $\lambda$ nach § 2 in zwei Primideale des Körpers $K_{\nu }$. Ist ferner $1+i$ in $\delta$, aber nicht in der Partialdiskriminante $n$ des Körpers $K_{\nu }$ als Faktor enthalten, so muß $\nu \equiv (00)$ nach $(1+i)^{4}$ sein, und es ist dann im Unterfalle 1 des Hauptfalles III bewiesen worden, daß $1+i$ im Körper $K_{\nu }$ zerlegbar ist. Da mithin sämtliche Primfaktoren von $\delta$ im Körper $K_{\nu }$ zerlegbar sind, so ist $\delta$ die Partialnorm eines Ideals in $K_{\nu }$ und hiermit ist der Satz 1 vollständig bewiesen.

Satz 2. Wenn $\nu$ die Partialnorm einer ganzen oder gebrochenen Zahl in dem durch ${\sqrt {\delta }}$ bestimmten Dirichletschen Zahlkörper $K_{\delta }$ ist, so ist auch $\delta$ die Partialnorm einer ganzen oder gebrochenen Zahl in dem durch ${\sqrt {\nu }}$ bestimmten Dirichletschen Zahlkörper $K_{\nu }$.

Setzen wir nämlich

$\nu =\nu \left(\alpha +\beta {\sqrt {\delta }}\right)=\alpha ^{2}-\beta ^{2}\delta$,

wo $\alpha$ und $\beta$ Zahlen des Körpers $k$ sind, so wird

$\delta =\left({\frac {\alpha }{\beta }}\right)^{2}-\left({\frac {1}{\beta }}\right)^{2}\nu$,

d. h. gleich der Partialnorm der in $K_{\nu }$ gelegenen Zahl ${\tfrac {\alpha +{\sqrt {\nu }}}{\beta }}$.

Satz 3. Wenn $\nu$ Partialnorm eines Ideals in $K_{\delta }$ ist, und das Charakterensystem von $\nu$ in $K_{\delta }$ aus lauter positiven Einheiten besteht, so ist $\nu$ zugleich die Partialnorm einer gewissen ganzen oder gebrochenen Zahl des Körpers $K_{\delta }$.

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 35. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/52&oldid=- (Version vom 31.7.2018)