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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 5

würde $\textstyle {\frac {\mathfrak {A}}{S{\mathfrak {A}}}}={\frac {\mathsf {B}}{S{\mathsf {B}}}}{\mathsf {A}}$ folgen. Andrerseits müßte aber $\textstyle {\frac {\mathfrak {A}}{S{\mathfrak {A}}}}$ gleich einer Einheit, etwa gleich $\varrho {\mathsf {E}}^{m}$ sein und da $\nu ({\mathsf {E}})=1$ ist, so würde hieraus $\nu ({\mathsf {A}})=\pm 1$ folgen, was der Annahme widerspricht.

Wir treffen nun die Voraussetzung, daß im Körper $K$ das Charakterensystem von $i$ aus lauter positiven Einheiten besteht; nach Satz 3 in § 4 gibt es dann eine Zahl ${\mathsf {A}}$, deren Partialnorm gleich $i$ ist, und wenn wir noch $\nu ({\mathsf {E}})=1$ annehmen, so muß die Zahl ${\mathsf {A}}$ notwendig gebrochen sein. Setzen wir $\textstyle {\mathsf {A}}={\frac {\mathfrak {J}}{{\mathfrak {J}}'}}$, wo ${\mathfrak {J}}$ und ${\mathfrak {J}}'$ zueinander prime Ideale sind, so wird $\textstyle {\frac {{\mathfrak {J}}\cdot S{\mathfrak {J}}}{{\mathfrak {J}}'\cdot S{\mathfrak {J}}'}}=1$ und hieraus folgt ${\mathfrak {J}}'=S{\mathfrak {J}}$ d. h. ${\mathfrak {J}}$ ist äquivalent mit $S{\mathfrak {J}}$ und bestimmt folglich eine ambige Klasse $C$; diese Klasse $C$ enthält nach dem vorhin Bewiesenen kein ambiges Ideal. Wir fassen die gewonnenen Resultate in folgendem Satze zusammen.

Satz 3. Es gibt im Körper $K$ dann und nur dann eine ambige Klasse, welche kein ambiges Ideal enthält, wenn das Charakterensystem von $i$ aus lauter positiven Einheiten besteht und wenn zugleich die Partialnorm der Grundeinheit gleich $\pm 1$ ist.

Die nämlichen Hilfsmittel führen zugleich zur Darstellung sämtlicher ambigen Klassen der genannten Eigenschaft. Nehmen wir nämlich an es gäbe 2 ambige Idealklassen, die kein ambiges Ideal enthalten und wählen aus diesen je ein Ideal ${\mathfrak {J}}$ und ${\mathfrak {J}}'$ aus, so zeigt die obige Entwicklung, daß die Partialnormen der beiden Zahlen $\textstyle {\mathsf {A}}={\frac {\mathfrak {J}}{S{\mathfrak {J}}}}$ und $\textstyle {\mathsf {A}}'={\frac {{\mathfrak {J}}'}{S{\mathfrak {J}}'}}$ gleich $\pm i$ sein müssen und es wird folglich $\textstyle \nu \left({\frac {\mathsf {A}}{{\mathsf {A}}'}}\right)=\pm 1$. Nehmen wir, was frei steht, in dieser Gleichung das obere Vorzeichen an, so folgt, daß $\textstyle {\mathsf {B}}=1+{\frac {S{\mathsf {A}}}{S{\mathsf {A}}'}}$ der Gleichung $\textstyle {\frac {\mathsf {B}}{S{\mathsf {B}}}}={\frac {{\mathsf {A}}'}{\mathsf {A}}}$ genügt. Dieselbe ergibt $\textstyle {\mathsf {B}}{\frac {\mathfrak {J}}{{\mathfrak {J}}'}}=S\left({\mathsf {B}}{\frac {\mathfrak {J}}{{\mathfrak {J}}'}}\right)$; setzen wir daher $\textstyle {\mathsf {B}}{\frac {\mathfrak {J}}{{\mathfrak {J}}'}}={\frac {\alpha }{\beta }}{\mathfrak {A}}$, wo $\alpha$ und $\beta$ ganze imaginäre Zahlen und das Ideal ${\mathfrak {A}}$ durch keine ganze imaginäre Zahl teilbar ist, so erweist sich ${\mathfrak {A}}$ als ein ambiges Ideal und der Quotient der beiden Ideale ${\mathfrak {J}}$ und ${\mathfrak {J}}'$ ist mithin einem ambigen Ideale äquivalent. Wir gewinnen aus diesen Überlegungen den Satz:

Satz 4. Wenn im Körper $K$ eine ambige Idealklasse vorhanden ist, welche kein ambiges Ideal enthält, so entstehen alle übrigen Klassen der nämlichen Beschaffenheit dadurch, daß man jene Klasse der Reihe nach mit allen aus ambigen Idealen entspringenden Klassen multipliziert.

Die bisherigen Resultate ermöglichen die Berechnung der Anzahl aller ambigen Klassen. Betrachten wir zunächst den Fall, daß das Charakterensystem von $i$ aus lauter positiven Einheiten besteht, so erkennen wir aus den soeben bewiesenen Sätzen 2, 3 und 4, daß es in diesem Falle genau $2^{s-1}$ ambige Klassen gibt, wo $s$ die Anzahl der Primteiler der Partialdiskriminante $d$ bedeutet. Von diesen $2^{s-1}$ ambigen Klassen entspringen sämtliche oder nur die

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David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 41. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/58&oldid=- (Version vom 31.7.2018)