, , … ist. Dann folgt, wie auf S. 72, daß die Zahlen , …, die verlangte Beschaffenheit haben.
Die Zahlen , …, heißen eine Basis des Ideals . Jede andere Basis
, …, des Ideals ist durch Formeln von der Gestalt
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gegeben, wo die Determinante der ganzzahligen Koeffizienten gleich ist.
Sind , …, irgend solche Zahlen des Ideals , durch deren lineare
Kombination unter Benutzung ganzer algebraischer Koeffizienten des Körpers alle Zahlen des Ideals erhalten werden können, so schreibe ich kurz
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Wenn und zwei Ideale sind, so werde dasjenige Ideal, welches entsteht, wenn man alle Zahlen und
zusammen nimmt, kurz mit bezeichnet, d. h. ich schreibe
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Ein Ideal, welches alle und nur die Zahlen von der Gestalt enthält, wo
jede beliebige ganze Zahl des Körpers darstellt und eine bestimmte
ganze Zahl des Körpers bedeutet, heißt ein Hauptideal und wird mit oder
auch kurz mit bezeichnet, falls eine Verwechselung mit der Zahl ausgeschlossen erscheint.
Eine jede Zahl des Ideals heißt kongruent nach dem
Ideal oder in Zeichen:
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Wenn die Differenz zweier Zahlen und kongruent nach ist, so heißen
und einander kongruent nach oder in Zeichen
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sonst heißen sie einander inkongruent oder in Zeichen
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Wenn man jede Zahl eines Ideals mit jeder Zahl eines
zweiten Ideals multipliziert und die so erhaltenen Zahlen
linear mittels beliebiger ganzer algebraischer Koeffizienten des Körpers kombiniert, so wird das so entstehende neue Ideal das Produkt der beiden Ideale
und genannt, d. h. in Zeichen
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Ein Ideal heißt durch das Ideal teilbar, wenn ein Ideal existiert derart,
daß ist. Ist ein Ideal durch das Ideal teilbar, so sind alle Zahlen