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	Emmy Noether: Invariante Variationsprobleme

§ 3. Umkehrung im Fall der endlichen Gruppe.

Um die Umkehrung zu zeigen, sind zuerst im wesentlichen die vorhergehenden Überlegungen in umgekehrter Reihenfolge zu durchlaufen. Aus dem Bestehen von (13) folgt durch Multiplikation mit den $\varepsilon$ und Addition das Bestehen von (12); und vermöge der Identität (3) daraus eine Beziehung: $\delta f+\mathrm {Div} \ (A-B)=0$. Setzt man also: $\Delta x={\frac {1}{f}}\cdot (A-B)$, so ist man dadurch zu (11) gelangt; daraus folgt durch Integration schließlich (7): $\Delta I=0$, also die Invarianz von $I$ gegenüber der durch $\Delta x,\ \Delta u$ bestimmten infinitesimalen Transformation, wobei die $\Delta u$ sich vermöge (9) aus $\Delta x$ und ${\bar {\delta }}u$ bestimmen, und $\Delta x$ und $\Delta u$ linear in den Parametern werden. $\Delta I=0$ zieht aber in bekannter Weise die Invarianz von $I$ gegenüber den endlichen Transformationen nach sich, die durch Integration des simultanen Systems entstehen:

(17)	${\frac {dx}{dt}}=\Delta x_{i};\quad {\frac {du_{i}}{dt}}=\Delta u_{i};\quad \left({\begin{array}{c}x_{i}=y\\u_{i}=v_{i}\end{array}}\ {\text{für}}\ t=0\right)$

Diese endlichen Transformationen enthalten $\varrho$ Parameter $a_{1}\dots a_{\varrho }$ nämlich die Verbindungen $t\varepsilon _{1},\dots ,t\varepsilon _{\varrho }$. Aus der Annahme, daß es $\varrho$ und nur $\varrho$ linear unabhängige Divergenzrelationen (13) geben soll, folgt ferner, daß die endlichen Transformationen, sobald sie die Ableitungen ${\frac {\partial u}{\partial x}}$ nicht enthalten, stets eine Gruppe bilden. Im entgegengesetzten Fall wäre nämlich mindestens eine durch den Lieschen Klammerprozeß entstehende infinitesimale Transformation keine lineare Verbindung der $\varrho$ übrigen; und da $I$ auch diese Transformation gestattet, würde es mehr als $\varrho$ linear-unabhängige Divergenzrelationen geben; oder diese infinitesimale Transformation wäre von der speziellen Form, daß ${\bar {\delta }}u=0,\ \mathrm {Div} \ (f\cdot \Delta x)=0$, dann aber wäre $\Delta x$ oder $\Delta u$ gegen Voraussetzung von Ableitungen abhängig. Ob dieser Fall eintreten kann, wenn Ableitungen in $\Delta x$ oder $\Delta u$ auftreten, muß dahingestellt bleiben; es sind dann dem oben bestimmten $\Delta x$ noch alle Funktionen $\Delta x$ hinzuzufügen, für welche $\mathrm {Div} \ (f\cdot \Delta x)=0$, um wieder Gruppeneigenschaft zu erhalten; die dadurch hinzutretenden Parameter sollen aber nach Verabredung nicht mitgezählt werden. Damit ist die Umkehrung bewiesen.

Aus dieser Umkehrung folgt noch, daß tatsächlich $\Delta x$ und $\Delta u$ linear in den Parametern angenommen werden dürfen. Wären nämlich $\Delta u$ und $\Delta x$ Formen höheren Grades in $\varepsilon$, so würden wegen der Linearunabhängigkeit der Potenzprodukte der $\varepsilon$ ganz entsprechende

Empfohlene Zitierweise:
Emmy Noether: Invariante Variationsprobleme. Nachr. D. König. Gesellsch. D. Wiss. Zu Göttingen, Math-phys. Klasse, Weidmannsche Buchhandlung, Berlin 1918, Seite 244. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:InvarianteVariationsprobleme.djvu/10&oldid=- (Version vom 1.8.2018)