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	Emmy Noether: Invariante Variationsprobleme

bis zur $\sigma$-ten Ableitung auf, indem man in ${\frac {\partial p}{\partial x}}=\sum {\frac {\partial g}{\partial y_{\varkappa }}}{\frac {\partial y_{\varkappa }}{\partial x}}$ die ${\frac {\partial y}{\partial x}}$ durch ${\frac {\partial x}{\partial y}}$ ausdrückt, allgemein ${\frac {\partial ^{\sigma }p}{\partial x^{\sigma }}}$ durch seinen Wert in ${\frac {\partial g}{\partial y}},\dots ,{\frac {\partial x}{\partial y}},\dots {\frac {\partial ^{\sigma }x}{\partial y^{\sigma }}}$ ersetzt. Zur Bestimmung der $u$ ergibt sich also das Gleichungssystem:

${\frac {du_{i}}{dt}}=F_{i}\left(g(y),\ {\frac {\partial g}{\partial y}},\dots {\frac {\partial ^{\sigma }g}{\partial y^{\sigma }}},u,t\right)\quad (u_{i}=v_{i}\ {\text{für}}\ t=0)$

in dem nur $t$ und $u$ Variable sind, die $g(y),\dots$ aber dem Koeffizientenbereich angehören, sodaß die Integration ergibt:

$u_{i}=v_{i}+B_{i}\left(v,\ g(y),\ {\frac {\partial g}{\partial y}},\dots {\frac {\partial ^{\sigma }g}{\partial y^{\sigma }}},\ t\right)_{t=1},$

also Transformationen, die genau von $\sigma$ Ableitungen der willkürlichen Funktionen abhängen. Die Identität ist darin nach (18) für $g(y)=0$ enthalten; und die Gruppeneigenschaft folgt daraus, daß das angegebene Verfahren jede Transformation $x=y+g(y)$ liefert, wodurch die induzierte der $u$ eindeutig festgelegt ist, die Gruppe ${\mathfrak {G}}$ also erschöpft wird.

Aus der Umkehrung folgt noch nebenbei, daß es keine Einschränkung bedeutet, die willkürlichen Funktionen nur von den $x$, nicht von den $u,\ {\frac {\partial u}{\partial x}},\dots$ abhängig anzunehmen. In letzterem Falle würden nämlich in der identischen Umformung (14), also auch in (15), außer den $p^{(\lambda )}$ noch ${\frac {\partial p^{(\lambda )}}{\partial u}},\ {\frac {\partial p^{(\lambda )}}{\partial {\dfrac {\partial u}{\partial x}},\dots }}$ auftreten. Nimmt man nun sukzessive die $p^{(\lambda )}$ als nullten, ersten, … Grades in $u,\ {\frac {\partial u}{\partial x}},\dots$ an, mit willkürlichen Funktionen von $x$ als Koeffizienten, so kommen wieder Abhängigkeiten (16), nur in größerer Anzahl; die aber nach der obigen Umkehrung durch Zusammenfassung mit nur von $x$ abhängigen willkürlichen Funktionen auf den früheren Fall zurückführen. Ebenso zeigt man, daß gleichzeitigem Auftreten von Abhängigkeiten und davon unabhängigen Divergenzrelationen gemischte Gruppen entsprechen^[1].

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1. Wie in § 3 folgt auch hier aus der Umkehrung, daß neben $I$ auch jedes um ein Integral über eine Divergenz verschiedene Integral $I^{*}$ ebenfalls eine unendliche Gruppe gestattet, mit denselben ${\bar {\delta }}u$, wobei aber $\Delta x$ und $\Delta u$ im allgemeinen Ableitungen der $u$ enthalten werden. Ein solches Integral $I^{*}$ hat Einstein in die allgemeine Relativitätstheorie eingeführt, um eine einfachere Fassung der Energiesätze zu erhalten; ich gebe die infinitesimalen Transformationen an, die

Empfohlene Zitierweise:
Emmy Noether: Invariante Variationsprobleme. Nachr. D. König. Gesellsch. D. Wiss. Zu Göttingen, Math-phys. Klasse, Weidmannsche Buchhandlung, Berlin 1918, Seite 249. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:InvarianteVariationsprobleme.djvu/15&oldid=- (Version vom 1.8.2018)