Seite:InvarianteVariationsprobleme.djvu/18

Fertig. Dieser Text wurde zweimal anhand der Quelle korrekturgelesen. Die Schreibweise folgt dem Originaltext.

	Emmy Noether: Invariante Variationsprobleme

Funktionen $r$ sich aus $p$ und $q$ bestimmen. In Formeln drückt sich das so aus: $\begin{array}{rlcrl} \mathfrak{T}_{p}:\xi & =x+\Delta x(x,p); & & u^{*} & =u+\Delta u(x,u,p);\\ \mathfrak{T}_{q}:y & =A(x,q); & & v & =B(x,u,q);\\ \mathfrak{T}_{q}\mathfrak{T}_{p}:\eta & =A(x+\Delta x(x,p),q); & & v^{*} & =B(x+\Delta x(p),\ u+\Delta u(p),q). \end{array}$ Hieraus entsteht aber $\mathfrak{T}_{r}=\mathfrak{T}_{q}\mathfrak{T}_{p}\mathfrak{T}_{q}^{-1}$, also $\eta=y+\Delta y(r);\quad v^{*}=v+\Delta v(r),$ indem man vermöge der Umkehrung von $\mathfrak{T}_{q}$ die $x$ als Funktionen der $y$ betrachtet und nur die infinitesimalen Glieder berücksichtigt; also hat man die Identität: (20) $\eta=y+\Delta y(r)=y+\sum\frac{\delta A(x,q)}{\delta x}\Delta x(p);$ $v^{*}=v+\Delta v(r)=v+\sum\frac{\partial B(x,u,q)}{\partial x}\Delta x(p)+\sum\frac{\partial B(x,u,q)}{\delta u}\Delta u(p).$ Ersetzt man hierin $\xi=x+\Delta x$ durch $\xi-\Delta\xi$, wodurch also $\xi$ wieder in $x$ übergeht, also $\Delta x$ verschwindet; so geht nach der ersten Formel (20) auch $\eta$ wieder in $y=\eta-\Delta\eta$ über; geht durch diese Substitution $\Delta u(p)$ über in $\bar{\delta}u(p)$, so geht also auch $\Delta v(r)$ über in $\bar{\delta}v(r)$, und die zweite Formel (20) gibt: $v+\bar{\delta}v(y,v,\dots r) = v+\sum\frac{\partial B(x,u,q)}{\partial u}\bar{\delta}u(p),$ $\bar{\delta}v(y,v,\dots r) = \sum\frac{\partial B}{\partial u_{\varkappa}}\bar{\delta}u_{\varkappa}(x,u,p),$ so daß also tatsächlich die Transformationsformeln für Variationen erfüllt sind, sobald nur $\bar{\delta}v$ von den Parametern, bezw. willkürlichen Funktionen $r$ abhängig angenommen wird . Es folgt also insbesondere die relative Invarianz von $\sum\psi_{i}\bar{\delta}u_{i}$; also auch nach (12), da die Divergenzrelationen auch in $y, v$ erfüllt sind, die relative Invarianz von $\mathrm{Div}\ B$; und weiter nach (14) und (13) die relative Invarianz von $\mathrm{Div}\ \Gamma$ und der mit den $p^{(\lambda)}$ zusammengefaßten linken Seiten der Abhängigkeiten, wo immer in den transformierten Formeln die willkürlichen $p(x)$ (bezw. die Parameter) durch die $r$ zu ersetzen sind. Daraus ergibt sich noch die relative Invarianz von $\mathrm{Div}\ (B-\Gamma)$, also einer Divergenz eines

Empfohlene Zitierweise:

Emmy Noether: Invariante Variationsprobleme. Nachr. D. König. Gesellsch. D. Wiss. Zu Göttingen, Math-phys. Klasse, Weidmannsche Buchhandlung, Berlin 1918, Seite 252. Digitale Volltext-Ausgabe in Wikisource, URL: http://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:InvarianteVariationsprobleme.djvu/18&oldid=1805426 (Version vom 10.05.2012)