Seite:InvarianteVariationsprobleme.djvu/6

Fertig. Dieser Text wurde zweimal anhand der Quelle korrekturgelesen. Die Schreibweise folgt dem Originaltext.

	Emmy Noether: Invariante Variationsprobleme

Spezialisiert man insbesondere die Gruppe dadurch, daß man keine Ableitungen der $u(x)$ in den Transformationen zuläßt, und außerdem die transformierten unabhängigen Größen nur von den $x$ , nicht von den $u$ abhängen läßt, so folgt (wie in § 5 gezeigt wird) aus der Invarianz von $I$ die relative Invarianz von $\sum \psi _{i}\delta u_{i}$ ^[1] und ebenso der in Satz I auftretenden Divergenzen, sobald die Parameter geeigneten Transformationen unterworfen werden. Daraus folgt noch, daß auch die oben erwähnten ersten Integrale die Gruppe gestatten. Für Satz II ergibt sich ebenso die relative Invarianz der mittelst der willkürlichen Funktionen zusammengefaßten linken Seiten der Abhängigkeiten; und als Folge davon noch eine Funktion, deren Divergenz identisch verschwindet und die Gruppe gestattet — die in der Relativitätstheorie der Physiker den Zusammenhang zwischen Abhängigkeiten und Energiesatz vermittelt^[2]. Satz II gibt schließlich noch in gruppentheoretischer Fassung den Beweis einer hiermit zusammenhängenden Hilbertschen Behauptung über das Versagen eigentlicher Energiesätze bei „allgemeiner Relativität“. Mit diesen Zusatz-Bemerkungen enthält Satz I alle in Mechanik u. s. w. bekannten Sätze über erste Integrale, während Satz II als größtmögliche gruppentheoretische Verallgemeinerung der „allgemeinen Relativitätstheorie“ bezeichnet werden kann.

§ 2. Divergenzrelationen und Abhängigkeiten.

Es sei ${\mathit {\mathfrak {G}}}$ eine — endliche oder unendliche — kontinuierliche Gruppe; dann läßt sich immer erreichen, daß der identischen Transformation die Werte Null der Parameter $\varepsilon$ , bezw. der willkürlichen Funktionen $p(x)$ entsprechen^[3]. Die allgemeinste Transformation wird also von der Form:

{\begin{array}{lll}y_{i}&=A_{i}\left(x,\ u,\ {\dfrac {\partial u}{\partial x}},\dots \right)&=x_{i}+\Delta x_{i}+\dots \\\\v_{i}(y)&=B_{i}\left(x,\ u,\ {\dfrac {\partial u}{\partial x}},\dots \right)&=u_{i}+\Delta u_{i}+\dots \end{array}}

↑ D. h. $\sum \psi _{i}\delta u_{i}$ nimmt bei Transformation einen Faktor an.
↑ Vergl. die zweite Kleinsche Note.
↑ Vergl. etwa Lie: „Grundlagen“, S. 331. Handelt es sich um willkürliche Funktionen, so sind die speziellen Werte $a^{\sigma }$ der Parameter durch feste Funktionen $p^{\sigma },\ {\frac {\partial p^{\sigma }}{\partial x}},\dots$ zu ersetzen; und entsprechend die Werte $a^{\sigma }+\varepsilon$ durch $p^{\sigma }+p(x)$ , ${\frac {\partial p^{\sigma }}{\partial x}}+{\frac {\partial p}{\partial x}}$ u. s. w.

Empfohlene Zitierweise:
Emmy Noether: Invariante Variationsprobleme. Nachr. D. König. Gesellsch. D. Wiss. Zu Göttingen, Math-phys. Klasse, Weidmannsche Buchhandlung, Berlin 1918, Seite 240. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:InvarianteVariationsprobleme.djvu/6&oldid=- (Version vom 1.8.2018)

[1] D. h. $\sum \psi _{i}\delta u_{i}$ nimmt bei Transformation einen Faktor an.

[2] Vergl. die zweite Kleinsche Note.

[3] Vergl. etwa Lie: „Grundlagen“, S. 331. Handelt es sich um willkürliche Funktionen, so sind die speziellen Werte $a^{\sigma }$ der Parameter durch feste Funktionen $p^{\sigma },\ {\frac {\partial p^{\sigma }}{\partial x}},\dots$ zu ersetzen; und entsprechend die Werte $a^{\sigma }+\varepsilon$ durch $p^{\sigma }+p(x)$ , ${\frac {\partial p^{\sigma }}{\partial x}}+{\frac {\partial p}{\partial x}}$ u. s. w.

[1]

[2]

[3]