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	Isaac Newton: Mathematische Principien der Naturlehre

Auf diese Weise kann man ins Unendliche fortfahren. Zuletzt nehme man

10. ACq = ACQ + E + G + J + etc;

man erhält dann aus seinem Cosinus, welcher

aus ACq = Cr

und der aus der Proportion

11. pr : sin ACq = : Kleine Axe : Grosse Axe

folgenden, Ordinate pr den verbesserten Ort p des Körpers.

Wird in einem bestimmten Falle der Winkel

N — ACQ + D

negativ, so muss das Zeichen + bei E überall in —, und umgekehrt — in + verwandelt werden. Dasselbe gilt von Zeichen der Winkel G und J, wenn die Winkel

N — ACQ — E + F und ACQ — E — G + H

negativ ausfallen.

Die unendliche Reihe

ACQ + E + G + J + etc.

convergirt übrigens sehr schnell, so dass man kaum jemals über das zweite Glied E hinaus zu gehen nöthig haben wird. Die Rechnung gründet sich auf den Satz, dass der Flächenraum APS dem Unterschied zwischen dem Bogen AQ und dem Perpendikel von S auf CQ proportional ist.^[1]

Durch eine nicht unähnliche Rechnung wird die Aufgabe für die Hyperbel gelöst. Es sei C ihr Mittelpunkt, A der Scheitel-, S der Brennpunkt und CK die Asymptote. Man kennt den Flächeninhalt des Sectors APS, welcher der Zeit proportional ist; er sei = A gesetzt. Man nehme eine Lage von SP an, welche sehr nahe jenen Flächeninhalt abschneidet. Man ziehe CP, ferner von A und P die Linien AJ und PK parallel der andern Asymptote; alsdann kennt man mittelst der Logarithmentafeln den Flächeninhalt von AJPK und den ihm gleichen von CPA,^[2] welcher letztere, vom Δ CPS abgezogen, den Flächeninhalt von APS übrig lässt. Fällt man nun auf die Tangente PT vom Brennpunkt S das Perpendikel SN und legt an dieses den halben Unterschied von A und APS, also

½APS — ½A oder ½A — ½APS;

so erhält man die Länge von PQ. Man hat PQ zwischen A und P zu nehmen, wenn

APS > A,

auf der entgegengesetzten Seite von P, wenn

APS < A.

Der Punkt Q ist dann der verbesserte Ort, und durch fortgesetzte

↑ [585] No. 36. S. 125. In der Theorie motus befindet sich die Gleichung $\scriptstyle {\frac {kt{\sqrt {1+\mu }}}{a^{\frac {3}{2}}}}=E-e\sin \ E$ . Setzt man daher hier $\scriptstyle \angle$ ACQ = E, AC = a, SC = ae, so wird AQ = aE, das Perpendikel von S auf CQ = SC sin ACQ = ae sin E, und so hier APS = a (E — e sin E), d. h. APS proportional E — e sin E.
↑ [585] No. 37. S. 125. Setzt man der Kürze wegen CK = x, PK = z, CJ = ½e = ½ $\scriptstyle {\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$ , wo 2a und 2b die beiden Axen der Hyperbel bezeichnen, so ist AJKP = ½ ab log hyp. $\scriptstyle \left({\frac {2x}{e}}\right)$ . Ferner ist Δ CJA 1/8 e² sin AJC, Δ CKP = ½ xy sin CKP, = ½ · ¼ e² sin AJC, mithin Δ CJA = CKP, und indem man jedes dieser Dreiecke von CAPKC subtrahirt: AJKP = Δ APC.

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Isaac Newton: Mathematische Principien der Naturlehre. Robert Oppenheim, Berlin 1872, Seite 125. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:NewtonPrincipien.djvu/133&oldid=- (Version vom 1.8.2018)

[1] [585] No. 36. S. 125. In der Theorie motus befindet sich die Gleichung $\scriptstyle {\frac {kt{\sqrt {1+\mu }}}{a^{\frac {3}{2}}}}=E-e\sin \ E$ . Setzt man daher hier $\scriptstyle \angle$ ACQ = E, AC = a, SC = ae, so wird AQ = aE, das Perpendikel von S auf CQ = SC sin ACQ = ae sin E, und so hier APS = a (E — e sin E), d. h. APS proportional E — e sin E.

[2] [585] No. 37. S. 125. Setzt man der Kürze wegen CK = x, PK = z, CJ = ½e = ½ $\scriptstyle {\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$ , wo 2a und 2b die beiden Axen der Hyperbel bezeichnen, so ist AJKP = ½ ab log hyp. $\scriptstyle \left({\frac {2x}{e}}\right)$ . Ferner ist Δ CJA 1/8 e² sin AJC, Δ CKP = ½ xy sin CKP, = ½ · ¼ e² sin AJC, mithin Δ CJA = CKP, und indem man jedes dieser Dreiecke von CAPKC subtrahirt: AJKP = Δ APC.

[1]

[2]