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	Otto Hölder: Bemerkung zur Quaternionentheorie

für $a_{r_{1}}$ eingesetzt und entsprechend mit den Quaternionen $a_{r_{2}},a_{r_{3}},\ldots a_{r_{\nu }}$ verfahren, dann kann man nach den Größen $\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta$ ordnen. Mit dem Product

$\alpha _{r_{1}}\beta _{r_{2}}\gamma _{r_{3}}\alpha _{r_{4}}\ldots \alpha _{r_{\nu }},$

welches ich als Beispiel herausgreife, erscheint die Quaternion multiplicirt, welche aus dem Ausdruck (4) dadurch hervorgeht, daß die Einheiten

$i_{0},i_{1},i_{2},i_{0},\ldots i_{0}$

beziehungsweise für $a_{r_{1}},a_{r_{2}},a_{r_{3}},a_{r_{4}},\ldots a_{r_{\nu }}$ gesetzt werden.

Wenn die Gleichung (4)

$\sum C_{s_{1}s_{2}\ldots s_{\nu }}a_{s_{1}}a_{s_{2}}\ldots a_{s_{\nu }}=0$

bestehen soll, so muß dieselbe auch erfüllt sein, wenn für die Größen $a_{r_{1}},a_{r_{2}},\ldots a_{r_{\nu }}$ irgend welche Einheiten aus der Reihe

$i_{0},i_{1},i_{2},i_{3}$

gesetzt werden. Aus dem unmittelbar vorhergehenden folgt zugleich, daß es auch hinreicht, wenn die Gleichung bei jeder Wahl der Einheiten erfüllt ist.

In der That existiren solche Gleichungen. Es ist

(5)	$\sum \pm a_{s_{1}}a_{s_{2}}a_{s_{3}}a_{s_{4}}=0$

wenn die Summe über alle Permutationen $s_{1},s_{2},s_{3},s_{4}$ der Zahlen $1,2,3,4$ erstreckt wird, und dabei das obere oder untere Vorzeichen genommen wird, je nachdem die Substitution

${\begin{pmatrix}1&2&3&4\\s_{1}&s_{2}&s_{3}&s_{4}\end{pmatrix}}$

eine gerade oder eine ungerade ist. Setzt man auf der linken Seite der Gleichung (5) zwei der Quaternionen $a_{1},a_{2},a_{3},a_{4}$ einander gleich, so heben sich je zwei Glieder gegeneinander auf, nämlich zwei solche, welche durch Vertauschung der beiden gleichgesetzten Größen aus einander hervorgehen. Um nun die Probe für die Richtigkeit der Gleichung (5) zu machen, setze man für $a_{1},a_{2},a_{3},a_{4}$ irgend welche 4 aus den Einheiten $i_{0},i_{1},i_{2},i_{3}$. Nimmt man dabei zwei oder mehr gleiche Einheiten, so verschwindet nach dem Vorhergehenden der Ausdruck. Man hat also nur noch $a_{1},a_{2},a_{3},a_{4}$ gleich einer Permutation von $i_{0},i_{1},i_{2},i_{3}$ zu setzen. Man setze zunächst $a_{1}=i_{0}$. Faßt man dabei allemal solche Glieder zusammen, in welchen die Buchstaben $a_{2},a_{3},a_{4}$ dieselbe Stellung zu einander einnehmen, so erhält man 6 Aggregate von je 4 Gliedern, z. B.

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Otto Hölder: Bemerkung zur Quaternionentheorie. Dieterichsche Verlags-Buchhandlung, Göttingen 1889, Seite 37. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:Otto_H%C3%B6lder_Bemerkung_zur_Quaternionentheorie_1889.pdf/4&oldid=- (Version vom 1.8.2018)