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	Otto Hölder: Ueber einen Mittelwerthssatz

$\Delta V = \frac{\partial^2 V}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 V}{\partial y^2}$

für die Kreisfläche. Unter der Annahme, daß die Function $V$ mit ihren ersten und zweiten Differentialquotienten stetig sei, läßt die genannte Relation sich aus dem Green’schen Satz ableiten.

7.

Es mögen jetzt in der Grundformel für $\varphi(x)$ die einfachsten Functionen eingesetzt werden. Zunächst sei

$\varphi(x) = x^m,$

wo $m$ eine beliebige reelle Größe bedeuten soll. Es ist $\varphi''(x)>0,$ wenn $m>1$ oder $m<0$ ist, und $\varphi''(x)<0,$ wenn $0<m<1$ ist; dabei soll das Argument $x$ auf positive Werthe beschränkt werden. Man findet nun

$\left(\sum a_\nu\right)^{m-1} \cdot \sum a_\nu x^m_\nu > \left(\sum a_\nu x_\nu\right)^m,$

falls $m>1$ oder $m<0$ ist. Nimmt man an, daß

$1<m<2$

ist, so erhält man für den Exponenten $m-1$ die Ungleichung

$\left(\sum a_\nu\right)^{m-2} \cdot \sum a_\nu x^{m-1}_\nu < \left(\sum a_\nu x_\nu\right)^{m-1}.$

Durch Combination der beiden letzten Relationen ergiebt sich

$\sum a_\nu \cdot \sum a_\nu x^m_\nu > \sum a_\nu x^{m-1}_\nu \cdot \sum a_\nu x_\nu.$

Setzt man zur Abkürzung

$\sum a_\nu x^m_\nu = \tau_m,$

so kann man die gewonnenen Ungleichungen in die Formen

$\tau^{m-1}_0 \tau_m > \tau^m_1$

und

$\tau_0 \tau_m > \tau_{m-1} \tau_1$

setzen. Da man nun in den Formeln $a_\nu$ durch $a_\nu x^k_\nu$ und $x_\nu$ durch $x^\tau_\nu$ ersetzen kann, so muß es gestattet sein, in jeder der letzten Ungleichungen die Indices der Größen $\tau$ sämmtlich um eine und dieselbe Größe zu vermehren oder zu vermindern, oder diese Indices sämmtlich mit derselben Größe zu multipliciren. Dadurch gewinnt man unmittelbar die von Herrn Rogers aufgestellten Ungleichungen § 3 (1), (2) und § 1 (3), (5).