Über die Transformation des elektromagnetischen Feldes in der Relativtheorie

Über die Transformation des elektromagnetischen Feldes in der Relativtheorie.

Auszug aus der im „Rad“ Bd. 204 (1914), S. 103, veröffentlichten Abhandlung.

Von Dr. V. Varićak.

Die Kinematik des starren Körpers steht im organischen Zusammenhange mit der Geometrie der Geraden des euklidischen Raumes. In der Abhandlung wurde ein Versuch gemacht, die Elektrodynamik und die Geometrie der Geraden des Lobatschefskijschen Raumes in ein ähnliches Verhältnis zu bringen. Aus den mitgeteilten Resultaten dürfte wenigstens die Möglichkeit erhellen, daß die formelle Identität der Relativtheorie und der Lobatschefskijschen Geometrie noch tiefer begründet werden kann. Um aber in dieser Richtung weiter zu kommen, wird es nötig sein, in der nichteuklidischen Geometrie der Geraden (von der die ersten Ansätze sich in einer Abhandlung H. Cox’s aus dem Jahre 1882 vorfinden), eingehendere Untersuchungen anzustellen.

Die Linienkoordinaten der durch Weierstraßsche Koordinaten zweier Punkte $A_{1}$ und $A_{2}$ festgelegten Geraden sind durch die Größen

${\begin{aligned}X=&{\begin{array}{|cc|}l_{1}&x_{1}\\l_{2}&x_{2}\end{array}},&Y=&{\begin{array}{|cc|}l_{1}&y_{1}\\l_{2}&y_{2}\end{array}},&Z=&{\begin{array}{|cc|}l_{1}&z_{1}\\l_{2}&z_{2}\end{array}},\\L=&{\begin{array}{|cc|}y_{1}&z_{1}\\y_{2}&z_{2}\end{array}},&M=&{\begin{array}{|cc|}z_{1}&x_{1}\\z_{2}&x_{2}\end{array}},&N=&{\begin{array}{|cc|}x_{1}&y_{1}\\x_{2}&y_{2}\end{array}},\end{aligned}}$

(1)

repräsentiert.

Die Gleichungen der Geraden ${\overline {A_{1}A_{2}}}$ sind

${\begin{aligned}Yx-Xy=&Nl\\Xz-Zx=&Ml,\\Zy-Yz=&Ll,\end{aligned}}$

(2)

nebst der Bedingungsgleichung

$LX+MY+NZ=0.$

(3)

Verschiebt man das Achsenkreuz längs der $X$-Achse, welche Operation mit der Lorentz-Transformation

$x'=x\,\mathrm {ch} \,u-l\,\mathrm {sh} \,u,\ y'=y,\ z'=z,\ l'=l\,\mathrm {ch} \,u-x\,\mathrm {sh} \,u$

equivalent ist, so erhält man z. B.

${\begin{aligned}X'&={\begin{array}{|cc|}l'_{1}&x'_{1}\\l'_{2}&x'_{2}\end{array}}={\begin{array}{|cc|}l_{1}\,\mathrm {ch} \,u-x_{1}\,\mathrm {sh} \,u&x_{1}\,\mathrm {ch} \,u-l_{1}\,\mathrm {sh} \,u\\l_{2}\,\mathrm {ch} \,u-x_{2}\,\mathrm {sh} \,u&x_{2}\,\mathrm {ch} \,u-l_{2}\,\mathrm {sh} \,u\end{array}}=\\&={\begin{array}{|cc|}l_{1}&x_{1}\\l_{2}&x_{2}\end{array}}\,\mathrm {ch} \,^{2}u+{\begin{array}{|cc|}x_{1}&l_{1}\\x_{2}&l_{2}\end{array}}\,\mathrm {sh} \,^{2}u={\begin{array}{|cc|}l_{1}&x_{1}\\l_{2}&x_{2}\end{array}},\ {\text{u. s. w.}}\end{aligned}}$

Es ist also

${\begin{aligned}X'=&X,&L'=&L,\\Y'=&Y\,\mathrm {ch} \,u-N\,\mathrm {sh} \,u,&M'=&M\,\mathrm {ch} \,u+Z\,\mathrm {sh} \,u\\Z'=&Z\,\mathrm {ch} \,u+M\,\mathrm {sh} \,u;&N'=&N\,\mathrm {ch} \,u-Y\,\mathrm {sh} \,u.\end{aligned}}$

(4)

Auf Grund der Relationen

${\frac {v}{c}}=\mathrm {th} \,u,\ \mathrm {ch} \,u={\frac {1}{\sqrt {1-\left({\dfrac {v}{c}}\right)^{2}}}},\ \,\mathrm {sh} \,u={\frac {\dfrac {v}{c}}{\sqrt {1-\left({\dfrac {v}{c}}\right)^{2}}}}$

übergehen die Gleichungen (4) in die Einsteinschen Ausdrücke

${\begin{aligned}X'=&X,&L'=&L,\\Y'=&{\frac {Y-{\dfrac {v}{c}}N}{\sqrt {1-\left({\dfrac {v}{c}}\right)^{2}}}},&M'=&{\frac {M+{\dfrac {v}{c}}Z}{\sqrt {1-\left({\dfrac {v}{c}}\right)^{2}}}},\\Z'=&{\frac {Z+{\dfrac {v}{c}}M}{\sqrt {1-\left({\dfrac {v}{c}}\right)^{2}}}};&N'=&{\frac {N-{\dfrac {v}{c}}Y}{\sqrt {1-\left({\dfrac {v}{c}}\right)^{2}}}}.\end{aligned}}$

(5)

Da die Koordinaten des Linienteiles $A_{1}A_{2}$ sich gegenüber der Lorentz-Transformation ebenso verhalten, wie die Komponenten der elektrischen und magnetischen Kraft, so kann man den Linienteil zur Versinnlichung des Sechservektors vorteilhaft verwenden. Daß die elektrische Seite des Sechservektors ein polarer, seine magnetische Seite ein achsialer Vektor ist, lehrt uns ihr verschiedenes Verhalten gegenüber der Inversion

${\bar {x}}=-x,\ {\bar {y}}=-y,\ {\bar {z}}=-z,\ {\bar {l}}=l.$

(6)

Es wird dadurch

${\bar {X}}=-X,\ {\bar {Y}}=-Y,\ {\bar {Z}}=-Z,$ ${\bar {L}}=L,\ {\bar {M}}=M,\ {\bar {N}}=N,$

oder

${\mathfrak {{\bar {E}}=-E,\ {\bar {H}}=H}}.$

(7)

Drückt man in den Maxwell-Hertzschen Gleichungen für den leeren Raum die Komponenten des Feldvektors ${\mathfrak {M}}$ durch seine Komponenten im gestrichenen System

${\begin{aligned}X=&X',&L=&L',\\Y=&Y'\,\mathrm {ch} \,u+N'\,\mathrm {sh} \,u,&M=&M'\,\mathrm {ch} \,u-Z'\,\mathrm {sh} \,u,\\Z=&Z'\,\mathrm {ch} \,u-M'\,\mathrm {sh} \,u;&N=&Y'\,\mathrm {sh} \,u+N'\,\mathrm {ch} \,u\end{aligned}}$

(8)

aus, so ersieht man leicht die Invarianz jener Gleichungen gegenüber der Lorentz-Transformation. Infolge der Transformationen (8) und der Relationen

${\frac {\partial X}{\partial x}}={\frac {\partial X'}{\partial x'}}\,\mathrm {ch} \,u-{\frac {\partial X'}{\partial l'}}\,\mathrm {sh} \,u,\ {\frac {\partial X}{\partial l}}={\frac {\partial X'}{\partial l'}}\,\mathrm {ch} \,u-{\frac {\partial X'}{\partial x'}}\,\mathrm {sh} \,u.$

gehen nämlich die Gleichungen

${\begin{aligned}&{\frac {\partial X}{\partial l}}={\frac {\partial N}{\partial y}}-{\frac {\partial M}{\partial z}},\dots ,\\&{\frac {\partial X}{\partial x}}+{\frac {\partial Y}{\partial y}}+{\frac {\partial Z}{\partial z}}=0,\end{aligned}}$

in die Gleichungen

${\frac {\partial X'}{\partial l'}}\,\mathrm {ch} \,u-{\frac {\partial X'}{\partial x'}}\,\mathrm {sh} \,u={\frac {\partial (Y'\,\mathrm {sh} \,u+N'\,\mathrm {ch} \,u)}{\partial y'}}-{\frac {\partial (M'\,\mathrm {ch} \,u-Z'\,\mathrm {sh} \,u)}{\partial z'}},$ ${\frac {\partial X'}{\partial x'}}\,\mathrm {ch} \,u-{\frac {\partial X'}{\partial l'}}\,\mathrm {sh} \,u+{\frac {\partial (Y'\,\mathrm {ch} \,u+N'\,\mathrm {sh} \,u)}{\partial y'}}+{\frac {\partial (Z'\,\mathrm {ch} \,u-M'\,\mathrm {sh} \,u)}{\partial z'}}=0$

über. Substituiert man den aus der letzten Gleichung entnommenen Wert für ${\frac {\partial X'}{\partial x'}}$ in die vorhergehende Gleichung, so wird

${\frac {\partial X'}{\partial l'}}={\frac {\partial N'}{\partial y'}}-{\frac {\partial M'}{\partial z'}},$

u. s. w.

Aus den Formeln (4) erhält man sofort

$L'^{2}+M'^{2}+N'^{2}-\left(X'^{2}+Y'^{2}+Z'^{2}\right)=$ $=L^{2}+M^{2}+N^{2}-\left(X^{2}+Y^{2}+Z^{2}\right).$

(9)

oder

${\mathfrak {H'^{2}-E'^{2}=H^{2}-E^{2}}}.$

(10)

Der absolute Wert des Feldvektors

${\mathfrak {M={\sqrt {H^{2}-E^{2}}}}}$

(11)

und – wegen der Formel (3) – das skalare Produkt

${\mathfrak {HE}}=0$

(12)

sind Invarianten jener Transformation. Die Länge des Linienteiles $A_{1}A_{2}$ ist durch die Formel

$\mathrm {ch} \,d=l_{1}l_{2}-x_{1}x_{2}-y_{1}y_{2}-z_{1}z_{2}$

(13)

gegeben, aus der sich wegen

$l^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}=1$

die Formel

$\mathrm {sh} \,^{2}d=\left(l_{1}x_{2}-l_{2}x_{1}\right)^{2}+\left(l_{1}y_{2}-l_{2}y_{1}\right)^{2}+\left(l_{1}z_{2}-l_{2}z_{1}\right)^{2}-\left(y_{1}z_{2}-y_{2}z_{1}\right)^{2}-$ $-\left(z_{1}x_{2}-z_{2}x_{1}\right)^{2}-\left(x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}\right)^{2},$

leicht folgern läßt. Es ist also

$\mathrm {sh} \,^{2}d=L^{2}+M^{2}+N^{2}-\left(X^{2}+Y^{2}+Z^{2}\right),$

und

${\mathfrak {M}}=\mathrm {sh} \,d$

(14)

Der absolute Wert des Feldvektors wird durch den Grenzkreisbogen über dem Linienteil $A_{1}A_{2}$ dargestellt. Da ${\mathfrak {M}}$ eine Invariante ist, wird $d'=d$ sein. In meiner nichteuklidischen Interpretation der Relativtheorie gibt es keine Kontraktion der Längen.

In der Arbeit wird weiter noch die Darstellung des Vierervektors durch die Ebenen im Lobatschefskijschen Raume sowie die allgemeine Transformation des Feldvektors nach Tamaki besprochen.

Die Gleichung der durch ihre drei Punkte bestimmten Ebene ist

${\begin{array}{|cccc|}x&y&z&l\\x_{1}&y_{1}&z_{1}&l_{1}\\x_{2}&y_{2}&z_{2}&l_{2}\\x_{3}&y_{3}&z_{3}&l_{3}\end{array}}=0$

(15)

oder

$Px+Ry+Sz-Tl=0,$

(16)

wo wir zur Abkürzung^[1]

${\begin{aligned}P={\begin{array}{|ccc|}l_{1}&y_{1}&z_{1}\\l_{2}&y_{2}&z_{2}\\l_{3}&y_{3}&z_{3}\end{array}},&&R={\begin{array}{|ccc|}x_{1}&l_{1}&z_{1}\\x_{2}&l_{2}&z_{2}\\x_{3}&l_{3}&z_{3}\end{array}},\\S={\begin{array}{|ccc|}x_{1}&y_{1}&l_{1}\\x_{2}&y_{2}&l_{2}\\x_{3}&y_{3}&l_{3}\end{array}},&&T=-{\begin{array}{|ccc|}x_{1}&y_{1}&z_{1}\\x_{2}&y_{2}&z_{2}\\x_{3}&y_{3}&z_{3}\end{array}},\end{aligned}}$

gesetzt haben. Werden diese Bestimmungsstücke des Vierervektors der Lorentz-Transformation unterworfen, so gehen dieselben in

${\begin{aligned}P'&=P\,\mathrm {ch} \,u+T\,\mathrm {sh} \,u,\\R'&=R,\\S'&=S,\\T'&=T\,\mathrm {ch} \,u+P\,\mathrm {sh} \,u\end{aligned}}$

(17)

über. Die Komponenten des Vierervektors transformieren sich also wie die Weierstraßschen Koordinaten eines Punktes bei der Translation längs der $X$-Achse in negativer Richtung. Es besteht weiter auch die invariante Relation

$P'^{2}+R'^{2}+S'^{2}-T'^{2}=P^{2}+R^{2}+S^{2}-T^{2}=1.$

(18)

Anmerkungen

1. M. Abraham, Sull’ elettrodinamica di Minkowski. Rendiconti del Circolo matematico di Palermo, XXX, 1910.