Bemerkungen zur Relativtheorie

1. Bemerkungen zur Relativtheorie. — 2. Über die Transformation der Geschwindigkeit in der Relativtheorie. – 3. Die Lorentz-Einsteinsche Transformation.

Auszug aus den im „Rad“, Bd. 198 (1913), S. 1, Bd. 200 (1913), S. 175 und 209, veröffentlichten Abhandlungen. Von Dr. V. Varićak.

Faßt man die Bestimmungsgrößen eines elementaren Ereignisses, d. h. die Veränderlichen $x,\,y,\,z,\,l=ct$ als homogene Weierstraß’sche Koordinaten eines Punktes im Lobatschefskij’schen Raume auf, so definiert die Lorentz-Einstein’sche Transformation die Bewegung dieses Punktes längs der Abstandslinie, welche die $X$-Achse zur Mittellinie hat.^[1] Das Bezugssystem verharrt dabei in Ruhe. Man kann aber diese Schiebung des Punktes $M$, welcher jenes elementare Ereignis repräsentiert, durch die Verrückung des Anfangspunktes um die Strecke $OO'=u$ im Sinne der positiven $X$-Achse ersetzen. Bewegt sich das Bezugssystem $S'$ relativ zu $S$ mit der Geschwindigkeit $v$, so besteht zwischen dieser Geschwindigkeit und ihrem Repräsentanten die Relation

${\frac {v}{c}}=\mathrm {th} \,u.$

(1)

Fig. 1.

Die Transformation der Raum-Zeitkoordinaten aus dem System $S$ in das System $S'$ ist gleichwertig der Transformation der homogenen Koordinaten des Punktes $M$ aus einem System ins andere. Um sich von der Äquivalenz der Schiebung des Punktes $M$ längs der Abstandslinie $EE_{1}$ in die Lage $M'$ und von der Verrückung des Koordinatenanfanges von $O$ nach $O'$ zu überzeugen (Fig. 1), genügt es darauf hinzuweisen, daß in beiden Fällen die Relationen

$X'=X-u,\quad Y'=Y$

(2)

stattfinden, und daß wegen der Kongruenz der Dreiecke $ONM'$ und $O'NM$ die Gleichung $OM'=O'M=r'$ besteht, daß also $l'=\mathrm {ch} \,r'$ beidemal denselben Wert hat. Im Falle der Bewegung längs der Parallele zur positiven $X$-Achse wäre $M'N'>MN$;

Fig. 2.

bei der Normale zur Ordinatenachse besteht das umgekehrte Verhältnis, und es findet die besagte Äquivalenz nicht statt.

Das Verhältnis zweier räumlicher Bezugssysteme, die sich gegeneinander in der gleichförmigen Translation befinden, ist in Fig. 2 dargestellt.

Aus

$X'=X-u,\quad Y'=Y,\quad Z'=Z,$

(3)

folgt

${\begin{aligned}\mathrm {sh} \,X'&=\mathrm {sh} \,X\,\mathrm {ch} \,u-\,\mathrm {ch} \,X\,\mathrm {sh} \,u,\\\mathrm {sh} \,Y'&=\mathrm {sh} \,Y,\\\mathrm {sh} \,Z'&=\mathrm {sh} \,Z.\end{aligned}}$

(4)

Multipliziert man die erste Gleichung mit $\mathrm {ch} \,Y'\,\mathrm {ch} \,Z'=\mathrm {ch} \,Y\,\mathrm {ch} \,Z$, so erhält man

$\mathrm {sh} \,X'\,\mathrm {ch} \,Y'\,\mathrm {ch} \,Z'=\mathrm {sh} \,X\,\mathrm {ch} \,Y\,\mathrm {ch} \,Z\,\mathrm {ch} \,u-\,\mathrm {ch} \,X\,\mathrm {ch} \,Y\,\mathrm {ch} \,Z\,\mathrm {sh} \,u.$

(5)

Es ist weiters

$\mathrm {ch} \,r=\mathrm {ch} \,X\,\mathrm {ch} \,Y\,\mathrm {ch} \,Z,$

(6)

und

$\mathrm {ch} \,r'=\mathrm {ch} \,(X-u)\,\mathrm {ch} \,Y\,\mathrm {ch} \,Z.$

oder

$\mathrm {ch} \,r'=\mathrm {ch} \,X\,\mathrm {ch} \,Y\,\mathrm {ch} \,Z\,\mathrm {ch} \,u-\,\mathrm {sh} \,X\,\mathrm {ch} \,Y\,\mathrm {ch} \,Z\,\mathrm {sh} \,u.$

(7)

Nach den Relationen, die zwischen den Lobatschefskijschen und den Weierstraß’schen Koordinaten eines Punktes $M$ bestehen, folgt daraus

$x'=x\,\mathrm {ch} \,u-l\,\mathrm {sh} \,u,\ y'=y,\ z'=z,\ l'=l\,\mathrm {ch} \,u-x\,\mathrm {sh} \,u.$

(8)

Dies ist die Lorentz-Einsteinsche Transformation. Mit Hilfe von (1) kann man diese sofort in der gewöhnlichen Form hinschreiben.

Die Invarianten der ersten Art oder die Bahnlinien der durch die Formeln (8) definierten Bewegung sind die Abstandslinien zur $X$-Achse. Die Invarianten der zweiten Art bestehen aus den zur $X$-Achse normalen Ebenen, in der Ebene aber aus der Normalenschaar zur Abszissenachse. Daraus ergibt sich ein interessantes Resultat über die Abhängigkeit der Geschwindigkeit eines Punktes von seiner Entfernung von der Abszissenachse. Die Punkte des starren Körpers, die sich anfänglich an der Normale $MN$ (Fig. 1) befunden haben, werden nach einiger Zeit auf $M'N'$ zu liegen kommen. Während der Punkt $N$ auf der Abszissenachse die Strecke $NN'$ überstreicht, beschreibt der Punkt $M$ in derselben Zeit den Bogen $MM'$ der Abstandslinie. Die Länge dieses Bogens ist $MM'=NN'\cdot \,\mathrm {ch} \,MN$. Nur vom Standpunkte der Euklidischen Geometrie kann dieses Resultat als paradox erscheinen. Bei der Translation längs der Parallele zur Abszissenachse wäre die Geschwindigkeit der Punkte unabhängig von ihrer Entfernung von der $X$-Achse, da aber die Invarianten zweiter Art in diesem Falle von koachsialen Grenzkreisen gebildet werden, so müßten die Querdimensionen des Körpers eine Kontraktion erleiden. Dagegen würde bei der Translation längs der Normale zur $Y$-Achse eine Dilatation eintreten.

Fig. 3.

Infolge des Umstandes, daß man den Koordinatenanfangspunkt des bewegten Systems längs der Abszissenachse des festen Bezugssystems bewegen läßt, spielt die $X$-Koordinate bei dieser Transformation eine besondere Rolle. Man erhält deswegen für die Achsenkomponenten der physikalischen Größen keine symmetrischen Ausdrücke. Um diese Symmetrie zu erzielen, führt Kajuro Tamaki^[2] den Anfangspunkt des gestrichenen Systems längs einer Geraden, welche durch den Anfang des festen Bezugssystems geht und mit seinen Achsen die Winkel $\alpha ,\beta ,\gamma$ einschließt. Auch dieser allgemeinere Fall läßt sich in der Lobatschefskijschen Geometrie sehr leicht erledigen, und zwar mit Hilfe zweier weiterer Systeme $S_{1}$ und $S_{2}$, deren Lage zu $S$ und $S'$ in der Figur 3 dargestellt ist. Wegen der Einfachheit beschränken wir uns auf die Ebene. Die Achsen der Systeme $S$ und $S'$ sind in der Lobatschefskijschen Ebene nicht zueinander parallel. Da sie mit derselben Geraden gleiche Winkel einschließen, so haben sie eine gemeinsame Normale und divergieren voneinander. Es sei Wieder $OO'=u$. Um von dem System $S$ zu dem anderen $S'$ zu übergehen, transformieren wir zuerst die homogenen Koordinaten von $M$ aus $S$ in $S_{1}$ mittels der Formeln

${\begin{aligned}x_{1}&=x\cos \alpha +y\sin \alpha ,\\y_{1}&=-x\sin \alpha +y\cos \alpha ,\\l_{1}&=l;\end{aligned}}$

(9)

sie drücken eine Drehung der Koordinatenachsen um den Winkel $\alpha$ aus. Der Übergang von $S_{1}$ zu $S_{2}$ wird durch die Lorentz-Einsteinsche Transformation der Koordinaten $x_{1},\ y_{1},\ l_{1}$ hergestellt. Mit Rücksicht auf (9) und (8) erhält man

${\begin{aligned}x_{2}&=x\cos \alpha \,\mathrm {ch} \,u+y\sin \alpha \,\mathrm {ch} \,u-l\,\mathrm {sh} \,u,\\y_{2}&=-x\sin \alpha +y\cos \alpha ,\\l_{2}&=l\,\mathrm {ch} \,u-x\,\mathrm {sh} \,u\cos \alpha -y\sin \alpha \,\mathrm {sh} \,u.\end{aligned}}$

(10)

Dreht man zuletzt $S_{2}$ im negativen Sinne um den Winkel $\alpha$, so kommt man zu $S'$ und also zu den Formeln

${\begin{aligned}x'&=x\cos ^{2}\alpha \,\mathrm {ch} \,u+y\sin \alpha \cos \alpha \,\mathrm {ch} \,u-l\cos \alpha \,\mathrm {sh} \,u+x\sin ^{2}\alpha -y\cos \alpha \sin \alpha ,\\y'&=x\cos \alpha \sin \alpha \,\mathrm {ch} \,u+y\sin ^{2}\alpha \,\mathrm {ch} \,u-l\sin \alpha \,\mathrm {sh} \,u-x\sin \alpha \cos \alpha +y\cos ^{2}\alpha ,\\l'&=l\,\mathrm {ch} \,u-x\,\mathrm {sh} \,u\cos \alpha -y\sin \alpha \,\mathrm {sh} \,u.\end{aligned}}$

die man leicht auf die Form

${\begin{aligned}x'&=x+(\mathrm {ch} \,u-1)\cos \alpha (x\cos \alpha +y\cos \beta )-l\,\mathrm {sh} \,u\cos \alpha ,\\y'&=y+(\mathrm {ch} \,u-1)\cos \beta (x\cos \alpha +y\cos \beta )-l\,\mathrm {sh} \,u\cos \beta ,\\l'&=\mathrm {ch} \,u\{l-\,\mathrm {th} \,u(x\cos \alpha +y\cos \beta )\}\end{aligned}}$

(11)

bringen kann. Ersetzt man hier die hyperbolischen Funktionen von $u$ durch entsprechende Ausdrücke in der reduzierten Geschwindigkeit $v$, und führt man die übliche Bezeichnung für die Richtungskosinus ein, so erhält man sofort die Formeln von Tamaki:

${\begin{aligned}x'&=x+(\beta -1)m(lx+my)-\beta vlt\\y'&=y+(\beta -1)n(lx+my)-\beta vmt\\t'&=\beta \left\{t-{\frac {v}{c^{2}}}(lx+my)\right\}.\end{aligned}}$

(12)

Gehen wir jetzt zur Transformation der Geschwindigkeit über.

In dem längs der $X$-Achse des Systems $S$ mit der Geschwindigkeit $OO'=u$ bewegten System $S'$ bewege sich ein Punkt mit der durch den Vektor ${\mathfrak {w}}'=O'M$ (Fig. 2) nach der Relation $O'M=\mathrm {arg\ th} {\frac {w'}{c}}$ dargestellten Geschwindigkeit. Gesucht ist die Geschwindigkeit des Punktes relativ zum Systeme $S$. In den früheren Arbeiten habe ich ausführlich dargelegt, daß die gesuchte Geschwindigkeit $OM$ durch die Vektoraddition der gegebenen Geschwindigkeiten gewonnen wird, daß also die Beziehung besteht

${\mathfrak {w=u+w'}}.$

(13)

Wir wollen nun die Achsenkomponenten der Geschwindigkeiten ins Auge fassen. Um die im System $S'$ gegebene Geschwindigkeit $O'M=\mathrm {arg\ th} {\frac {w'}{c}}$ nach den Koordinatenachsen zu zerlegen, lege man durch $M$ drei zu den Achsen des Systems $S'$ normale Ebenen. Durch die Achsenabschnitte

$u'_{1}=O'P,\quad u'_{2}=O'Q',\quad u'_{3}=O'R',$

werden die diesen Abschnitten nach der Relation (1) zugeordneten Geschwindigkeiten durch $w'_{i}\ (i=1,\,2,\,3)$ repräsentiert. Die Achsenkomponenten von ${\mathfrak {w}}$ erhält man auf dieselbe Art. Um aber diese rechnerisch zu bestimmen, berechne man die Länge $PT$ (Fig. 2) aus den dreirechtwinkeligen Vierecken $OPTQ$ und $O'PTQ'$. Es ist

$\mathrm {th} \,PT=\mathrm {th} \,OQ\cdot \,\mathrm {ch} \,OP$

und

$\mathrm {th} \,PT=\mathrm {th} \,O'Q'\cdot \,\mathrm {ch} \,O'P.$

demnach

$\mathrm {th} \,PT=\mathrm {th} \,u_{2}\ \mathrm {ch} \,\left(u'_{1}+u\right)=\mathrm {th} \,u'_{2}\ \mathrm {ch} \,u'_{1}.$

Aus den Vierecken $SPOR$ und $SPO'R'$ folgt ebenso

$\mathrm {th} \,PS=\mathrm {th} \,OR\cdot \,\mathrm {ch} \,OP,$

und

$\mathrm {th} \,PS=\mathrm {th} \,O'R'\cdot \,\mathrm {ch} \,O'P,$

also

$\mathrm {th} \,PS=\mathrm {th} \,u_{2}\ \mathrm {ch} \,\left(u+u'_{1}\right)=\mathrm {th} \,u'_{3}\ \mathrm {ch} \,u'_{1}.$

Man liest weiter aus der Figur unmittelbar $u_{1}=u'_{1}+u$ ab und man hat

${\begin{aligned}\mathrm {th} \,u_{1}&={\frac {\mathrm {th} \,u'_{1}+\,\mathrm {th} \,u}{1+\,\mathrm {th} \,u'_{1}\ \mathrm {th} \,u}},\\\mathrm {th} \,u_{2}&={\frac {\mathrm {th} \,u'_{2}}{\mathrm {ch} \,u\left(1+\,\mathrm {th} \,u{}_{1}\ \mathrm {th} \,u\right)}},\\\mathrm {th} \,u_{3}&={\frac {\mathrm {th} \,u'_{3}}{\mathrm {ch} \,u\left(1+\,\mathrm {th} \,u{}_{1}\ \mathrm {th} \,u\right)}},\end{aligned}}$

(14)

oder

${\begin{aligned}w_{1}&={\frac {w'_{1}+v}{1+{\dfrac {w'_{1}v}{c^{2}}}}},\\w_{2}&={\frac {w'_{2}{\sqrt {1-\left({\dfrac {v}{c}}\right)^{2}}}}{1+{\dfrac {w'_{1}v}{c^{2}}}}},\\w_{2}&={\frac {w'_{3}{\sqrt {1-\left({\dfrac {v}{c}}\right)^{2}}}}{1+{\dfrac {w'_{1}v}{c^{2}}}}}\end{aligned}}$

(15)

Sind umgekehrt die Achsenkomponenten von $OM$ gegeben, so erhält man die Geschwindigkeit selbst, indem man in den Endpunkten $P,\,Q,\,R$ der Komponenten drei zu den Achsen $X,\,Y,\,Z$ normale Ebenen legt; diese treffen in $M$ zusammen. Die durch ihre Achsenkomponenten derart bestimmte Geschwindigkeit erscheint hier als Diagonale des durch jene drei Ebenen und die Koordinatenebenen gebildeten Hexaeders. Seine vier Ecken $P,\,Q,\,R$ und $O$, deren Scheitel sich auf den Koordinatenachsen befinden, haben rechte Kantenwinkel. Die Ecken $S,\,T,\,U$, welche in die Koordinatenebenen fallen, haben je zwei rechte und einen spitzen Winkel, während in der Ecke $M$ alle drei Kantenwinkel spitz sind. In der entsprechenden euklidischen Figur wären die Strecken $OP,\,TQ$ u. s. w. untereinander gleich, hier aber sind sie es nicht, und so ersieht man leicht, daß die Geschwindigkeit durch die Vektoraddition ihrer Achsenkomponenten nicht erhalten werden kann.

Fig. 4.

In der nichteuklidischen Interpretation der Relativtheorie wird die Lichtgeschwindigkeit durch eine unendliche Strecke repräsentiert. Man kann also, indem man die Lichtgeschwindigkeit mit einer endlichen Geschwindigkeit komponiert, nur ihre Richtung, nicht aber ihre Größe ändern. Und wenn man die Lichtgeschwindigkeit als Resultante bei der Vektoraddition erhalten will, so muß wenigstens eine Komponente der Lichtgeschwindigkeit gleich sein. Dagegen sind die Achsenkomponenten der Lichtgeschwindigkeit endlich. Um dies leichter einzusehen, verbleiben wir in der Ebene und ziehen den Vektor ${\mathfrak {c}}$ der Lichtgeschwindigkeit durch den Koordinatenanfangspunkt unter dem Winkel $\alpha$ zur $X$-Achse. Seine Achsenkomponenten sind die den Parallelwinkeln $\alpha$ und ${\frac {\pi }{2}}-\alpha$ entsprechende Strecken (Fig. 4). Es ist also

$OP=D(\alpha ),\quad OQ=D\left({\frac {\pi }{2}}-\alpha \right).$

Die Achsenkomponenxten der Lichtgeschwindigkeit sind also komplementäre Strecken. Die in den Punkten $P$ und $Q$ auf die Koordinatenachsen errichteten Normalen sind sowohl zueinander, als auch zum Vektor ${\mathfrak {c}}$ parallel.

Wir wollen jetzt das Kriterium aufstellen, nach welchem man entscheiden kann, ob zwei beliebig vorgegebene Achsenkomponenten eine endliche oder eine unendliche Geschwindigkeit bestimmen. Sei $u_{1}=OP=D(\alpha )$ die Komponente an der Abszissenachse. Nimmt man zur Komponente an der Ordinatennchse $u_{2}=OQ_{1}>OQ$, dann ist $\Pi \left(OQ_{1}\right)<{\frac {\pi }{2}}-\alpha$. Die in den Punkten $Q_{1}$ und $P$ errichteten Normalen treffen einander nicht. Ist dagegen $u_{2}=OQ_{2}<OQ$, so wird $\Pi \left(OQ_{2}\right)>{\frac {\pi }{2}}-\alpha$; die erwähnten zwei Normalen schneiden sich in $M$; dadurch ist die Geschwindigkeit $OM$ völlig bestimmt, und zwar als Diagonale des dreirechtwinkligen Vierecks $OPMQ_{2}$.

Jenachdem

$\Pi \left(u_{1}\right)+\Pi \left(u_{2}\right)\lesseqqgtr {\frac {\pi }{2}},$

(16)

ist, bestimmen die Achsenkomponenten $u_{1}$ und $u_{2}$ entweder überhaupt keine Geschwindigkeit, oder sie bestimmen eine Geschwindigkeit, welche der Lichtgeschwindigkeit gleich, beziehungsweise kleiner als diese ist.

Schließt die Geschwindigkeit $OM$ mit der $X$-Achse den Winkel $\varphi$ ein, so erhält man aus den Dreiecken $OPM$ und $OQM$^[3]

$\mathrm {th} \,u_{1}=\mathrm {th} \,u_{2}\cos \varphi ,\quad \mathrm {th} \,u_{2}=\mathrm {th} \,u\sin \varphi ,$

folglich ist

$\mathrm {th} \,^{2}u_{1}+\,\mathrm {th} \,^{2}u_{2}=\mathrm {th} \,^{2}u,\quad {\frac {\mathrm {th} \,u_{2}}{\mathrm {th} \,u_{1}}}=\mathrm {tg} \,\varphi ,$

(17)

oder

$v_{1}^{2}+v_{2}^{2}=w^{2},\quad \varphi =\mathrm {arc\ tg} {\frac {v_{2}}{v_{1}}}.$

(18)

Solange man in einem und demselben Bezugssysteme verbleibt, kann man reduzierte Geschwindigkeiten benützen und sich der euklidischen Geometrie bedienen.

Die von Tamaki gegebenen Ausdrücke für die Achsenkomponenten bei der allgemeinen Transformation der Geschwindigkeit kann man aus den Formeln (11) oder (12) leicht berechnen; wir wollen aber dieselben mit Hilfe von Figur 3 auf geometrischem Wege ableiten. Die Achsenkomponenten der Geschwindigkeit $OM$ im System $S_{1}$ bezeichnen wir mit $u_{11}$ und $u_{21}$; ähnlich für $O'M$ in $S_{2}$ mit $u_{12}$ und $u_{22}$. Der zweite Index weist auf jenes Koordinatensystem hin, in welchem die Zerlegung stattgefunden hat. Um $OP_{1}=u_{11}$ zu bestimmen, berechne man $\mathrm {th} \,QM$ zuerst aus dem dreirechtwinkligen Vierecke $OPMQ$; man findet

$\mathrm {th} \,QM=\mathrm {th} \,OP\cdot \,\mathrm {ch} \,OQ=\mathrm {th} \,u_{1}\,\mathrm {ch} \,u_{2}.$

(19)

Aus dem Vierecke $OP_{1}MQ$ mit zwei gegenüberliegenden rechten Winkeln erhält man dagegen

$\mathrm {th} \,OP_{1}=\cos \,O\,\mathrm {th} \,OQ+{\frac {\sin O\,\mathrm {th} \,MQ}{\mathrm {ch} \,OQ}},$

oder

$\mathrm {th} \,u_{11}=\mathrm {th} \,u_{2}\sin \alpha +{\frac {\mathrm {th} \,QM\cos \alpha }{\mathrm {ch} \,u_{2}}}.$

(20)

Auf dieselbe Weise kann man aus $OPMQ$ und $OPMQ_{1}$ die Formeln ableiten:

$\mathrm {th} \,MP=\mathrm {th} \,OQ\cdot \,\mathrm {ch} \,OP=\mathrm {th} \,u_{2}\,\mathrm {ch} \,u_{1},$

(21)

und

$\mathrm {th} \,OQ_{1}=\cos \,O\,\mathrm {th} \,OP+{\frac {\sin O\,\mathrm {th} \,MP}{\mathrm {ch} \,OP}},$

oder

$\mathrm {th} \,u_{21}=-\sin \alpha \,\mathrm {th} \,u_{1}+{\frac {\cos \alpha \,\mathrm {th} \,MP}{\mathrm {ch} \,u_{1}}}.$

(22)

Durch Elimination von $\mathrm {th} \,QM$ aus (19) und (20) als auch von $\mathrm {th} \,MP$ aus (21) und (22) ergibt sich

${\begin{aligned}\mathrm {th} \,u_{11}&=\mathrm {th} \,u_{1}\cos \alpha +\,\mathrm {th} \,u_{2}\sin \alpha ,\\\mathrm {th} \,u_{21}&=-\,\mathrm {th} \,u_{1}\sin \alpha +\,\mathrm {th} \,u_{2}\cos \alpha ,\end{aligned}}$

(23)

oder

${\begin{aligned}w_{12}&=w_{1}\cos \alpha +w_{2}\sin \alpha ,\\w_{21}&=-w_{1}\sin \alpha +w_{2}\cos \alpha .\end{aligned}}$

(24)

Der Übergang von $S_{1}$ auf $S_{2}$ wird durch die Translation um die Strecke $u$ bewerkstelligt, und so kann man nach den Formeln (8) und (23) sogleich schreiben:

${\begin{aligned}\mathrm {th} \,u_{12}&={\frac {\,\mathrm {ch} \,u\left(\,\mathrm {th} \,u_{1}\cos \alpha +\,\mathrm {th} \,u_{2}\sin \alpha -\,\mathrm {th} \,u\right)}{\,\mathrm {ch} \,u\left[1-\left(\,\mathrm {th} \,u_{1}\cos \alpha +\,\mathrm {th} \,u_{2}\sin \alpha \right)\,\mathrm {th} \,u\right]}},\\\mathrm {th} \,u_{22}&={\frac {-\,\mathrm {th} \,u_{1}\sin \alpha +\,\mathrm {th} \,u_{2}\cos \alpha }{\,\mathrm {ch} \,u\left[1-\left(\,\mathrm {th} \,u_{1}\cos \alpha +\,\mathrm {th} \,u_{2}\sin \alpha \right)\,\mathrm {th} \,u\right]}}.\end{aligned}}$

(25)

Durch Drehung des Systems $S_{2}$ um den Winkel $-\alpha$ erhält man

${\begin{aligned}\mathrm {th} \,u'_{1}&=\mathrm {th} \,u_{12}\cos \alpha -\mathrm {th} \,u_{22}\sin \alpha ,\\\mathrm {th} \,u'_{2}&=\mathrm {th} \,u_{12}\sin \alpha +\mathrm {th} \,u_{22}\cos \alpha .\end{aligned}}$

(26)

Setzt man hierin $\cos \beta$ statt $\sin \alpha$, und berücksichtigt man^{[WS 1]} noch die Formeln (25), so wird

${\begin{aligned}\mathrm {th} \,u'_{1}&={\frac {\mathrm {th} \,u{}_{1}+(\,\mathrm {ch} \,u-1)\cos \alpha \left(\,\mathrm {th} \,u_{1}\cos \alpha +\,\mathrm {th} \,u_{2}\cos \beta \right)-\,\mathrm {ch} \,u\,\mathrm {th} \,u\cos \alpha }{\,\mathrm {ch} \,u\left[1-\left(\,\mathrm {th} \,u_{1}\cos \alpha +\,\mathrm {th} \,u_{2}\cos \beta \right)\,\mathrm {th} \,u\right]}},\\\mathrm {th} \,u'_{2}&={\frac {\mathrm {th} \,u{}_{2}+(\,\mathrm {ch} \,u-1)\cos \beta \left(\,\mathrm {th} \,u_{1}\cos \alpha +\,\mathrm {th} \,u_{2}\cos \beta \right)-\,\mathrm {ch} \,u\,\mathrm {th} \,u\cos \beta }{\,\mathrm {ch} \,u\left[1-\left(\,\mathrm {th} \,u_{1}\cos \alpha +\,\mathrm {th} \,u_{2}\cos \beta \right)\,\mathrm {th} \,u\right]}}.\end{aligned}}$

(27)

Und so sind wir endlich zu den von Tamaki gegebenen Ausdrücken

${\begin{aligned}w'_{1}&={\frac {w_{1}+(\beta -1)l\left(w_{1}l+w_{2}m\right)-\beta vl}{\beta \left\{1-\left(w_{1}l+w_{2}m\right){\dfrac {v}{c^{2}}}\right\}}},\\w'_{2}&={\frac {w_{2}+(\beta -1)m\left(w_{1}l+w_{2}m\right)-\beta vm}{\beta \left\{1-\left(w_{1}l+w_{2}m\right){\dfrac {v}{c^{2}}}\right\}}}.\end{aligned}}$

(28)

gekommen.

Fig. 5.

Die Vektoraddition der Geschwindigkeiten wollen wir jetzt für das Problem der Aberration verwenden. Unterwirft man den Lichtvektor der Raumzeittransformation (8), so erhält man in der Relativtheorie den Ausdruck für die Aberration. In der elementaren Theorie bestimmt man die Richtung des abgelenkten Strahles durch Zusammensetzung der Lichtgeschwindigkeit und der Geschwindigkeit der Erde in ihrer Bahn um die Sonne. Kommt das Licht von einem unendlich weiten Stern mit der Geschwindigkeit $AC$ unter dem Winkel $\varphi$ zur Bahn der Erde, deren Geschwindigkeit $AB$ ist, so wird man den Stern unter dem Winkel $\varphi '_{0}$ sehen (Fig. 5). Nun möchte ich zeigen, daß auch in der Relativtheorie der „relative Strahl“ durch Komposition der Erd- und Lichtgeschwindigkeit gewonnen werden kann.

Man hat nur die Geschwindigkeiten graphisch so darzustellen, wie es die Formel (1) erheischt. Darnach entspricht der Lichtgeschwindigkeit eine unendliche Strecke; die Geschwindigkeit der Erde wird durch die Strecke $AD=u$ dargestellt, welche unmerklich größer als $AB$ ist. In der Zeichnung ist der Unterschied übertrieben groß. Die Vektoraddition dieser Geschwindigkeiten ergibt als Resultante die durch $D$ zu $AC$ gezogene Parallele. Ist $AE=u_{1}$, das dem Winkel $\varphi$ entsprechende Lot, so gehört zu $\varphi '$ das Lot

$u'_{1}=u_{1}-u.$

(29)

Es ist demnach $e^{-u'_{1}}=e^{u}\cdot e^{-u_{1}}$. Nimmt man den Wert für $e^{u}$ aus der Formel (1), und beachtet noch die in der nichteuklidischen Geometrie fundamentale Beziehung zwischen dem Winkel und der ihm entsprechenden Länge, so erhält man zuerst die von Plummer gegebene Beziehung

$\mathrm {tg} \,{\frac {\varphi '}{2}}={\sqrt {\frac {c+v}{c-v}}}\cdot \,\mathrm {tg} \,{\frac {\varphi }{2}},$

(30)

und dann die Formel von Einstein

$\cos \varphi '={\frac {\cos \varphi -{\dfrac {v}{c}}}{1-{\dfrac {v}{c}}\cos \varphi }}.$

(31)

Noch einfacher gelangt man zu dieser Formel, wenn man auf beiden Seiten in (29) den hyperbolischen Tangens nimmt und dann die Gleichung (1) und die Relation $u_{1}=\cos \varphi$ beachtet.

Ueber die Lobatschefskij’sche Geometrie wird öfters ausgesagt, daß sie unanschaulich wäre. Es sei mir damit im Zusammenhang gestattet, auf die Diskussion über das Unanschauliche in der Mathematik und Physik, an welcher Klein, Boltzmann und Höfler teilgenommen haben, nur flüchtig hinzuweisen.^[4]

Es kommt der geometrischen Gestaltanschauung gewiß sehr ungelegen, daß in der Geometrie von Lobatschefskij und Bolyai ähnliche Figuren nicht bestehen. Wollte man da alle Verhältnisse richtig wiedergeben, so müßte man die Figuren in absoluter Größe zeichnen, was wegen der allzugroßen absoluten Einheitsstrecke unmöglich ist. Für den meiner Interpretation zugrunde liegenden Raum ist die Einheitsstrecke noch sehr klein gegenüber anderweitigen Bestimmungen des Weltparameters.^[5] Aber es gibt, besonders in der Astronomie, so viele Fälle, wo man auch nach dem Vorgange der euklidischen Geometrie nur verzerrte, schematische Abbildungen wirklicher Verhältnisse angeben kann. In Fig. 5 z. B. sollte $AC$ zehntausendmal länger als $AB$ sein. Ist $AB$ ein Zentimeter, so müßte man $AC$ hundert Meter lang nehmen. Diese Proportionen kann man also zeichnerisch nicht anders als ganz unrichtig wiedergeben. Daß sich aber die Phantasie im Lobatschefskijschen Raume ebenso frei betätigen kann, wie im Gebiete der euklidischen Geometrie, weiß jedermann, der sich eine Zeitlang mit der nichteuklidischen Geometrie beschäftigte. Im Anfange sucht man sich wohl das Ungewohnte jener Geometrie mittels irgendeiner euklidischen Interpretation klarzulegen, man kommt aber bald auch ohne einer solchen Hilfe aus.

Aus demselben Grunde wie für die nichteuklidische Geometrie hat man auch für die Relativtheorie einige geometrische Interpretationen vorgeschlagen. Auf die formelle Identität dieser beiden Gebiete habe ich schon bei früheren Gelegenheiten hingewiesen. Darum wird man wohl kaum fehlgehen, wenn man auch für die Relativtheorie dasjenige gelten läßt, was Engel über die nichteuklidische Geometrie ausgesagt hat, nämlich: „Und noch heute hat jeder, der sich in die von Lobatschefskij geschaffene Geometrie einarbeitet, gewisse Schwierigkeiten zu überwinden: er muss viele alte, gewohnte Vorstellungen, die er aus der Euklidischen Geometrie mitbringt, über Bord werfen, einige Zeit lang ist er stets in Gefahr rückfällig zu werden und glaubt in der neuen Geometrie Widersprüche zu finden, die in Wahrheit nicht vorhanden sind und die sich bei näherm Zusehen in Nichts auflösen“.

Es ist hinlänglich bekannt, welchen Schwierigkeiten das Problem der Rotation des starren Körpers in der Relativtheorie begegnet hat. Die erste von Born gegebene Definition der Starrheit hat sich als zu eng erwiesen, indem es sich herausgestellt hat, daß ein in jenem Sinne starrer Körper nur drei Freiheitsgrade besitzen würde. Auf Grund derselben Definition ist Ehrenfest bei der gleichförmigen Rotation des relativstarren Körpers zu dem bekannten Widerspruch gekommen. Darum hat Born versucht, eine neue Definition der Starrheit aufzustellen, die eine große Analogie mit der gewöhnlichen Starrheit aufweist^[6]. So z. B. hat der starre Körper sechs Freiheitsgrade, wie in der klassischen Kinematik. Aber es haben sich auch andere Schwierigkeiten eingestellt. Bei der gleichförmigen Rotation nimmt die vom ruhenden System gemessene Winkelgeschwindigkeit mit wachsendem Abstande von der Achse ab. Born bemerkt noch, daß darnach die Erdkugel schwerlich ein in diesem Sinne „starrer“ Körper sein würde. Im euklidischen Raume wäre dies gewiß nicht der Fall, wohl aber im Raume von Lobatschefskij und Bolyai. Das paradoxe Resultat von Born, wonach die mehr achsialen Schichten mit einer größeren Winkelgeschwindigkeit rotieren als die peripheren, scheint mir dadurch hervorgerufen zu sein, daß man eine tatsächlich nichteuklidische Rotation auf die Bewegung eines Punktes längs der Peripherie des euklidischen Kreises abgebildet haben will. Um dies zu begründen, bemerke ich, daß sich auf die Rotation im Lobatschefskijschen Raume fast alles übertragen läßt, was man so gewöhnlich von der Rotation aussagt^[7].

Denkt man sich von irgendeinem außerhalb der Rotationsachse liegenden Punkte des Körpers eine Senkrechte auf die Rotationsachse gezogen, so muß diese wegen der Unveränderlichkeit der Körpergestalt in jeder neuen Lage senkrecht zur Rotationsachse bleiben und auch ihre Länge kann sich nicht ändern. Die Senkrechte bildet also den Halbmesser eines Kreises, auf dem sich der zugehörige Punkt bewegt. Dem Absolutbetrage nach haben alle Punkte, die in gleichem Abstande von der Drehachse liegen, in jedem Augenblicke gleiche Geschwindigkeiten. Bei Punkten, die in verschiedenen Abständen liegen, drehen sich die zur Rotationsachse gezogenen Senkrechten stets um gleiche Zentriwinkel^[8]. Bis hieher stimmen die euklidische und die nichteuklidische Rotation überein; jetzt kommt aber ein wesentlicher Unterschied. In der gewöhnlichen Kinematik verhalten sich die Absolutbeträge der Geschwindigkeiten wie die Abstände von der Drehachse, in der nichteuklidischen Kinematik verhalten sich aber die von den Punkten in verschiedenen Abständen von der Drehachse beschriebenen Wege wie die hyperbolischen Sinus jener Abstände. Der dem Zentriwinkel $\omega$ zugehörige Bogen des Lobatschefskijschen Kreises vom Radius $U$ wird nämlich durch die Formel

$S=c\,\omega \,\mathrm {sh} \,{\frac {U}{c}}=c\,\omega \,\mathrm {sh} \,u$

(32)

ausgedrückt. Hier bedeutet $c=3\cdot 10^{10}{\mathit {cm}}$ die absolute Einheitsstrecke. Nach Andrade könnten wir $c$ das Lobatschefskijsche Meter benennen.

Der Einfachheit wegen beschränken wir uns auf die gleichförmige Drehung eines Kreises in der Lobatschefskijschen Ebene. Betrachten wir nun den Punkt $M$ in der Entfernung $U$ und einen andern Punkt $M$, in einem solchen Abstande $\Sigma$ vom Mittelpunkt des Kreises, daß $\mathrm {sh} \,{\frac {\Sigma }{c}}=\mathrm {sh} \,\sigma =1$ wird. Diese Entfernung $\Sigma$ beträgt etwas weniger als neun Zehntel der absoluten Einheitsstrecke. In der Zeiteinheit beschreibt $M_{1}$ den Bogen $S_{1}$, der dem Zentriwinkel $\omega$ entspricht, und so ist

$S_{1}=c\,\omega \,\mathrm {sh} \,\sigma =c\,\omega .$

(33)

Die Maßzahl dieses Bogens $s_{1}={\frac {S_{1}}{c}}$, welche numerisch dem Winkel $\omega$ gleich ist, wollen wir nach Analogie mit der gewöhnlichen Kinematik als Winkelgeschwindigkeit der Drehung bezeichnen.

Der Punkt $M$ hat aber in derselben Zeit den Bogen $S$ beschrieben; dieser Bogen gehört zu demselben Zentriwinkel $\omega$, und seine Länge wird durch die Formel (32) gegeben. Wir können also sagen, der Punkt $M$ besitze die Rotationsgeschwindigkeit

$q={\frac {S}{\omega }}=c\,\mathrm {sh} \,u,$

(34)

was man auch in der Form

$q={\frac {c\,\mathrm {th} \,u}{\sqrt {1-\,\mathrm {th} \,^{2}u}}}$

(35)

schreiben kann. Jeder Strecke $u$ entspricht aber nach unserer Festsetzung (1) eine ganz bestimmte Geschwindigkeit $v$, und so gelangen wir zu der Formel

$q={\frac {v}{\sqrt {1-\left({\frac {v}{c}}\right)^{2}}}},$

(36)

welche der Bornschen Formel (42) entspricht.

Fig. 6.

Nimmt man den Parameter $c$ unseres Lobatschefskijschen Raumes unendlich groß, so geht dieser in den euklidischen Raum über, und die vorhergehende Formel reduziert sich auf $q=v$, was mit dem Ausdruck für die Rotation der gewöhnlichen Kinematik übereinstimmt.

Die zu demselben Zentriwinkel gehörigen Bogen zweier konzentrischer Kreise der Lobatschefskijschen Ebene verhalten sich nicht wie ihre Radien $CM$ und $CM'$ (Fig. 6), sondern wie die Grenzkreisbogen $CN$ und $CN'$, welche vom Mittelpunkte senkrecht zu den Tangenten in $M$ und $M'$ gezogen sind. Ist $CM=u$, so ist $CN=\mathrm {sh} \,u$. Aus

$\lim \limits _{u=\infty }{\frac {\,\mathrm {sh} \,u}{u}}=\lim \limits _{u=\infty }{\frac {e^{u}}{2u}}=\infty ,$

(37)

folgt, daß der Bogen eines Lobatschefskijschen Kreises unverhältnismäßig schneller wachst als sein Radius. Dies ersieht man noch leichter aus der Fig. 7, in welcher durch $SS'$ die hyperbolische Sinusoide $y=\mathrm {sh} \,u$ dargestellt ist. Im Koordinatenanfang besitzt sie eine Inflexionstangente, welche den Winkel der Koordinatenachsen halbiert. In der nächsten Umgebung des Koordinatenanfanges schließt sich diese Kurve ihrer Inflexionstangente eng an, und dies bedeutet, daß für abnehmende Werte von $u$ die Peripherie des Lobatschefskijschen Kreises sich der entsprechenden Größe der euklidischen Geometrie immer mehr nähert.

Beschreiben wir um $C$ als Mittelpunkt einen Kreis mit dem Radius $AC=u$. Halten wir diesen für einen Kreis der Lobatschefskijschen Ebene, so wird er eine ebensogroße Peripherie haben, wie ein euklidischer Kreis, der mit dem Radius $BC=\mathrm {sh} \,u$ um denselben Mittelpunkt beschrieben ist. Wollte man daher einen Lobatschefskijschen Kreis auf dieselbe Art ausmessen wie einen euklidischen, so wurde man notwendigerweise auf Widersprüche stoßen.

Fig. 7.

Nehmen wir in der Lobatschefskijschen Ebene zwei konzentrische Kreise $k$ und $k'$ (Fig. 6). Sie sollen gleiche Radien haben wie die koncentrischen Kreise $K_{e}$ und $K'_{e}$ in der euklidischen Ebene. Dem Zentriwinkel $\omega _{e}$ entsprechen auf diesen euklidischen Kreisen die Bogen $L_{e}$ und $L'_{e}$. Messen wir nun an dem Lobatschefskijschen Kreise $k$ den Bogen $AB$ ab, welcher jenem euklidischen Bogen $L_{e}$ gleich ist. Diesem Bogen $AB$ wird im Kreise $k$ der Zentriwinkel $\omega$ entsprechen, welcher natürlicherweise von $\omega _{e}$ verschieden ist. Ebenso wird dem Bogen $A'B'=L'_{e}$ auf dem Lobatschefskijschen Kreise $k'$ der Zentriwinkel $\omega '$ entsprechen. Da der Radius des Kreises $k$ größer ist als der Radius von $k'$, so wird $\omega$ kleiner als $\omega '$ sein.

Nehmen wir z. B. den Radius des Kreises $k$ zweimal so groß wie jenen des Kreises $k'$, d. h.

$CA'=u',\quad CA=u=2u'.$

Berechnen wir die Bogen $AB$ und $A'B'$ so, wie wenn sie zuerst den euklidischen Kreisen $K_{e}$ und $K'_{e}$ und dann den Lobatschefskijschen $k$ und $k'$ angehören würden, dann erhalten wir folgende Gleichungen

${\begin{aligned}&A'B'=u'\omega _{e}=c\,\omega '\,\mathrm {sh} \,u',\\&AB=2u'\omega _{e}=2c\,\omega \,\mathrm {sh} \,u'\,\mathrm {ch} \,u'.\end{aligned}}$

Daraus folgt

$\omega '={\frac {u'\omega _{e}}{c\,\mathrm {sh} \,u'}},\quad \omega ={\frac {u'\omega _{e}}{c\,\mathrm {sh} \,u'\,\mathrm {ch} \,u'}},$

also

$\omega ={\frac {\omega '}{\mathrm {ch} \,u'}}.$

Der hyperbolische Kosinus ist aber immer größer als 1; es ist also $\omega <\omega '$. Dem entspricht vollkommen das paradoxe Resultat, welches Born aus seiner Formel

${\mathfrak {q}}={\frac {\mathfrak {w}}{\sqrt {1-{\dfrac {|{\mathfrak {w}}|^{2}}{c^{2}}}}}}$

(40)

folgendermaßen abgeleitet hat. Rotiert der Körper um die $X$-Achse mit der konstanten Winkelgeschwindigkeit ${\mathfrak {p}}_{x}$, so ist die Lösung von (40) darstellbar in der Form:

${\begin{aligned}x=&\mathrm {const} ,\\y=&\rho \cos \varphi ,\\z=&\rho \sin \varphi ,\end{aligned}}$

(41)

wo $\rho$ eine Konstante und

$\varphi ={\frac {{\mathfrak {p}}_{x}}{\sqrt {1+{\dfrac {\rho ^{2}{\mathfrak {p}}_{x}^{2}}{c^{2}}}}}}\cdot t.$

(42)

ist. Die vom ruhenden System gemessene Winkelgeschwindigkeit ${\frac {d\varphi }{dt}}$ nimmt also mit wachsendem Abstande $\rho$ von der Achse ab.

Ich möchte nur noch bemerken, daß die Relationen (41) nur von den Punkten eines euklidischen Kreises erfüllt werden. Jener Widerspruch zeigt uns also an, daß sich die Rotation eines im Bornschen Sinne „starren“ Körpers mit Hilfe der euklidischen Geometrie nicht sinngemäß beschreiben läßt. Ich glaube aber gezeigt zu haben, daß die besagte Abnahme der Winkelgeschwindigkeit nur durch das Einzwängen jenes physikalischen Vorganges in die euklidische Form bedingt ist. Die Darstellung der Relativtheorie in der euklidischen Geometrie ist aber auch sonst keine dem Wesen der Sache adäquate, während sich ihre Interpretation im Raume von Lobatschefskij und Bolyai ebenso natürlich gestalltet, wie die Interpretation der klassischen Theorie in der euklidischen Geometrie.

Anmerkungen

1. Jahresb. d. deutsch. Mathematiker-Vereinigung, XXI, 1912, S. 103-127.
2. Memoirs of the College of science and engineering, vol. V, No. 6, Kyoto, 1913.
3. Die zugehörige einfache Figur möge der Leser selbst zeichnen.
4. Wissenschaftliche Beilage zum neunzehnten Jahresbericht (1906) der Philosophischen Gesellschaft an der Universität zu Wien: Grenzfragen der Mathematik und Philosophie.
5. Hier möchte ich noch bemerken, daß E. Borel ganz genau denselben Raum der geometrischen Behandlung der Relativtheorie zugrunde legen will. In einer kurzen Note in den Comptes rendus de l’ Académie des Sciences de Paris (1^er semestre 1913) sagt er wörtlich: „Le principe de relativité correspond à l’ hypothèse que l’ espace cinématigue est un espace à courbure constante négative, l’ espace de Lobatschewski et Bolyai. La valeur du rayon de courbure est la vitesse de la lumière.“ Borel repräsentiert weiter die Geschwindigkeit $\alpha$ durch $\mathrm {th} \,a$ und nennt $a$ die „wahre Geschwindigkeit“. Auf diesen Festsetzungen basieren auch meine seit 1910 publizierten Versuche über die nichteuklidische Interpretation der Relativtheorie.
6. Nachrichten der Kgl. Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen. Math-phys. Klasse. 1910.
7. Z. B. bei Föppl, Technische Mechanik, Bd. I, 1911, S. 191.
8. Die Erhaltung dieser Eigenschaft ermöglicht uns auch bei der nichteuklidischen Drehung das Messen der Winkelgeschwindigkeit durch den Winkel, um welchen sich der Körper in der Zeiteinheit dreht.

Anmerkungen (Wikisource)

1. doppeltes Wort entfernt: man