David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie/Kapitel 7.14

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David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie (1932) von David Hilbert 7.14 Die Primideale ersten Grades und der Klassenbegriff.

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14. Die Primideale ersten Grades und der Klassenbegriff.

§ 53. Die Erzeugung der Idealklassen durch Primideale ersten Grades.

Es ist von hohem Interesse, daß die in Kapitel 10—12 entwickelten Prinzipien auch über die Frage der Erzeugung und Natur der Idealklassen eines Zahlkölpers neues Licht verbreiten. In diesem und in dem folgenden Kapitel werden die wichtigsten auf diese Frage bezüglichen allgemeinen Sätze dargelegt. Der erste Satz betrifft die Erzeugung der Idealklassen eines beliebigen Galoisschen Zahlkörpers durch Primideale ersten Grades und lautet:

Satz 89. In jeder Idealklasse eines Galoisschen Körpers gibt es Ideale, deren Primfaktoren sämtlich Ideale ersten Grades sind.

Wir beweisen zunächst den folgenden Hilfssatz:

Hilfssatz 12. Wenn $K$ ein Galoisscher Körper vom $M$-ten Grade mit der Diskriminante $D$ ist, und ${\mathfrak {P}}$ ein in $DM$! nicht aufgehendes Primideal von einem Grade $f>1$ in diesem Körper bedeutet, so gibt es stets eine zu $DM$! prime ganze Zahl $\Omega$ in $K$, welche durch ${\mathfrak {P}}$, aber nicht durch ${\mathfrak {P}}^{2}$ teilbar ist, und deren übrige Primfaktoren sämtlich von niederem als dem $f$-ten Grade sind.

Beweis. Es sei ${\mathsf {P}}$ eine ganze Zahl des Körpers $K$ von der Art, daß jede andere ganze Zahl $\Omega$ einer ganzzahligen Funktion von ${\mathsf {P}}$ nach ${\mathfrak {P}}^{2}$ kongruent wird. Nach Satz 29 existiert eine solche Zahl ${\mathsf {P}}$ stets. Wir bezeichnen ferner die zu ${\mathfrak {P}}$ konjugierten und von ${\mathfrak {P}}$ verschiedenen Primideale mit ${\mathfrak {P}}'$, ${\mathfrak {P}}''$, …‚ ${\mathfrak {P}}^{(m)}$ und bestimmen dann eine ganze Zahl ${\mathsf {A}}$ in $K$, welche den Kongruenzen

${\begin{aligned}&{\mathsf {A}}\equiv {\mathsf {P}},\qquad ({\mathfrak {P}}^{2})\\&{\mathsf {A}}\equiv 0,\qquad ({\mathfrak {P}}'\,{\mathfrak {P}}''\,\ldots \,{\mathfrak {P}}^{(m)})\\&{\mathsf {A}}\equiv 1,\qquad (M!)\end{aligned}}$

genügt. Ist $z$ eine solche Substitution der zu ${\mathfrak {P}}$ gehörigen Zerlegungsgruppe, für welche $z{\mathsf {P}}\equiv {\mathsf {P}}^{p}$ nach ${\mathfrak {P}}$ wird, so sind offenbar die $f-1$ Differenzen ${\mathsf {A}}-z{\mathsf {A}}$, ${\mathsf {A}}-z^{2}{\mathsf {A}}$, …, ${\mathsf {A}}-z^{f-1}{\mathsf {A}}$ zu ${\mathfrak {P}}$ prim. Ist ferner $s$ eine nicht zur Zerlegungsgruppe gehörige Substitution, so wird $s{\mathsf {A}}$ durch ${\mathfrak {P}}$ teilbar, und folglich ist die Differenz ${\mathsf {A}}-s{\mathsf {A}}$ zu ${\mathfrak {P}}$ prim. Die Differente von ${\mathsf {A}}$ ist mithin zu ${\mathfrak {P}}$ prim, und daher folgt nach der Bemerkung auf S. 71, daß ${\mathsf {A}}$ eine den Körper $K$ bestimmende Zahl darstellt. Mit Rücksicht auf Satz 31 ist $K$ der Trägheitskörper von ${\mathfrak {P}}$, und daher genügt ${\mathsf {A}}$ einer Gleichung von der Gestalt:

${\mathsf {A}}^{f}+\alpha _{1}{\mathsf {A}}^{f-1}+\cdots +\alpha _{f}=0$,

wo $\alpha _{1}$, …‚ $\alpha _{f}$ Zahlen im Zerlegungskörper $k$ des Primideals ${\mathfrak {P}}$ bedeuten. Die übrigen Unterkörper des Körpers $K$ vom nämlichen Grade $\textstyle {\frac {M}{f}}$ bezeichnen wir mit $k'$, $k''$, …; es genügt ${\mathsf {A}}$ dann auch den Gleichungen

${\begin{aligned}{\mathsf {A}}^{f}+\alpha '_{1}{\mathsf {A}}^{f-1}&+\cdots +\alpha '_{f}=0,\\{\mathsf {A}}^{f}+\alpha ''_{1}{\mathsf {A}}^{f-1}&+\cdots +\alpha ''_{f}=0,\\&\vdots \end{aligned}}$

wo $\alpha '_{1}$, …, $\alpha '_{f}$ Zahlen in $k'$, $\alpha ''_{1}$, …, $\alpha ''_{f}$ Zahlen in $k''$ usf. sind. Nunmehr bestimme man $f$ ganze rationale Zahlen $a_{1}$, …‚ $a_{f}$ so, daß

$a_{1}\equiv \alpha _{1}$, …, $a_{f}\equiv \alpha _{f}$,  (${\mathfrak {P}}$)

wird; dies ist möglich, weil nach Satz 70 das Ideal ${\mathfrak {P}}$ in $k$ vom ersten Grade ist. Sodann seien $b_{1}$, …, $b_{f}$ solche $f$ ganze rationale Zahlen, welche den Kongruenzen

$M!b_{1}\equiv a_{1}$, …, $M!b_{f}\equiv a_{f}$,  ($p$)

genügen, und für welche überdies keine der zum Index 1 gehörigen Verbindungen

$\beta _{1}=M!b_{1}-\alpha _{1}$, $\beta '_{1}=M!b_{1}-\alpha '_{1}$, …

verschwindet. Wir setzen ferner

${\mathsf {B}}={\mathsf {A}}^{f}+M!(b_{1}{\mathsf {A}}^{f-1}+b_{2}{\mathsf {A}}^{f-2}+\cdots +b_{f})$.

Endlich bezeichnen wir die sämtlichen von $p$ verschiedenen und in der Diskriminante $A$ von ${\mathsf {A}}$ oder in den Normen der Zahlen $\beta _{1}$, $\beta '_{1}$, … aufgehenden rationalen Primzahlen, soweit sie größer als $M$ sind, mit $q_{1}$, …, $q_{l}$. Ist $q_{i}$ eine beliebige unter diesen, so muß, da sie in $K$ höchstens $M$ Primfaktoren enthalten kann, mindestens eine der $q_{i}$($>M$) Zahlen, ${\mathsf {B}}$, ${\mathsf {B}}+1$, ${\mathsf {B}}+2$, …, ${\mathsf {B}}+q_{i}-1$ zu $q_{i}$ prim sein; es sei etwa $B+c_{i}$ prim zu $q_{i}$. Bestimmt man dann eine ganze rationale Zahl $c$, welche den $l$ Kongruenzen $M!pc\equiv c_{i}$ nach $q_{i}$ für $i=1$, $2$, …, $l$ genügt, so ist

$\Omega ={\mathsf {B}}+M!pc$

eine Zahl von der Eigenschaft, wie sie unser Hilfssatz 12 verlangt.

In der Tat: wegen der Kongruenz ${\mathsf {A}}\equiv 1$ nach $M!$ ist die Zahl $\Omega$ prim zu allen denjenigen rationalen Primzahlen, welche $\leqq M$ sind; und andererseits ist $\Omega$ auf Grund der Bestimmungsweise der Zahl $c$ prim zu allen denjenigen in $A$ enthaltenen rationalen Primzahlen, welche größer als $M$ sind. Die Zahl $\Omega$ ist daher prim zu den von $p$ verschiedenen, in $A$ aufgehenden rationalen Primzahlen.

Ferner ist $\Omega$ teilbar durch ${\mathfrak {P}}$, aber nicht durch ${\mathfrak {P}}'$, ${\mathfrak {P}}''$, …, ${\mathfrak {P}}^{(m)}$, da $M!b_{f}\equiv a_{f}\not \equiv 0$ nach $p$ wird. Die Zahl $\Omega$ ist in der Gestalt

$\Omega ={\mathsf {A}}^{f}+m_{1}{\mathsf {A}}^{f-1}+\cdots +m_{f}$,

darstellbar, wo $m_{1}$, …, $m_{f}$ ganze rationale Zahlen bedeuten. Da ${\mathsf {A}}\equiv P$ nach ${\mathfrak {P}}^{2}$ ist und ${\mathsf {P}}$ keiner ganzzahligen Kongruenz von niederem als dem $(2f)$-ten Grade nach ${\mathfrak {P}}^{2}$ genügen kann, so folgt, daß $\Omega$ nicht durch ${\mathfrak {P}}^{2}$ teilbar ist.

Wäre ferner $\Omega$ durch ein Primideal ${\mathfrak {Q}}$ vom Grade $f'>f$ teilbar, und seien $1$, $z'$, $z'^{2}$, …, $z'^{f'-1}$ die $f'$ Substitutionen der Zerlegungsgruppe von ${\mathfrak {Q}}$, durch welche diese aus der Trägheitsgruppe erzeugt wird, so müßten die $f'$ Kongruenzen.

${\begin{aligned}{\mathsf {A}}^{f}+m_{1}\qquad {\mathsf {A}}^{f-1}+\cdots +m_{f}&\equiv 0,\quad ({\mathfrak {Q}})\\(z'{\mathsf {A}})^{f}+m_{1}(z'{\mathsf {A}})^{f-1}+\cdots +m_{f}&\equiv 0,\quad ({\mathfrak {Q}})\\\vdots \qquad &\end{aligned}}$

bestehen; diese würden zur Folge haben, daß die Diskriminante $A$ der Zahl ${\mathsf {A}}$ durch ${\mathfrak {Q}}$ teilbar ist, was nach dem Obigen nicht zutrifft.

Es sei endlich $\Omega$ durch ein Primideal ${\mathfrak {Q}}$ vom Grade $f$ teilbar; dann müßte einer der Körper $k$, $k'$, $k''$, … Zerlegungskörper von ${\mathfrak {Q}}$ sein; es sei dies etwa der Körper $k'$. Unter dieser Annahme setze man $\Omega$ in die Gestalt

$\Omega =\Omega -\left({\mathsf {A}}^{f}+\alpha '_{1}{\mathsf {A}}^{f-1}+\cdots +\alpha '_{f}\right)=\beta '_{1}{\mathsf {A}}^{f-1}+\cdots +\beta '_{f}$,

wo $\beta '_{1}$, …, $\beta '_{f}$ Zahlen in $k'$ bedeuten. Sind $1$, $z'$, $z'^{2}$, …, $z'^{f-1}$ die $f$ für ${\mathfrak {Q}}$ zur Erzeugung seiner Zerlegungsgruppe aus seiner Trägheitsgruppe dienenden Substitutionen, so folgt

${\begin{aligned}\beta '_{1}{\mathsf {A}}^{f-1}+\cdots +\beta '_{f}&\equiv 0,\quad ({\mathfrak {Q}})\\\beta '_{1}(z'{\mathsf {A}})^{f-1}+\cdots +\beta '_{f}&\equiv 0,\quad ({\mathfrak {Q}})\\\vdots \qquad &\end{aligned}}$

und diese Kongruenzen würden zur Folge haben, daß entweder $A$ oder $\beta '_{1}$ durch ${\mathfrak {D}}$ teilbar ist, womit die obigen Festsetzungen im Widerspruch stehen.

Wenn wir berücksichtigen, daß in jeder Klasse ein Ideal gefunden werden kann, Welches zu $DM$! prim ist, so folgt aus dem somit bewiesenen Hilfssatz 12, wie man leicht sieht, der Satz 89. Derselbe ist für den Fall des Kreiskörpers bereits von Kummer bewiesen worden [Kummer (6^[1])].

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1. Über die Zerlegung der aus Wurzeln der Einheit gebildeten komplexen Zahlen in ihre Primfaktoren. J. Math. 35 (1847).^{[WS 1]}

Anmerkungen (Wikisource)

1. Kummer, Ernst Eduard: Über die Zerlegung der aus Wurzeln der Einheit gebildeten complexen Zahlen in ihre Primfactoren, in: Journal für die reine und angewandte Mathematik, Band 35 (1847), S. 327–367 GDZ Göttingen

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