Die Grundgleichungen für die elektromagnetischen Vorgänge in bewegten Körpern

aus Wikisource, der freien Quellensammlung
Wechseln zu: Navigation, Suche
Textdaten
Autor: Hermann Minkowski
Illustrator: {{{ILLUSTRATOR}}}
Titel: Die Grundgleichungen für die elektromagnetischen Vorgänge in bewegten Körpern
Untertitel: {{{SUBTITEL}}}
aus: Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse. 1908, S. 53–111
Herausgeber: {{{HERAUSGEBER}}}
Auflage: {{{AUFLAGE}}}
Entstehungsdatum: {{{ENTSTEHUNGSJAHR}}}
Erscheinungsdatum: 1908
Verlag: Weidmannsche Buchhandlung
Drucker: {{{DRUCKER}}}
Erscheinungsort: Berlin
Übersetzer: {{{ÜBERSETZER}}}
Originaltitel: {{{ORIGINALTITEL}}}
Originalsubtitel: {{{ORIGINALSUBTITEL}}}
Originalherkunft: {{{ORIGINALHERKUNFT}}}
Quelle: Internet Archive, Kopie auf Commons
Kurzbeschreibung: {{{KURZBESCHREIBUNG}}}
{{{SONSTIGES}}}
Wikipedia-logo.png Artikel in der Wikipedia
Eintrag in der GND: {{{GND}}}
Bild
[[Bild:{{{BILD}}}|250px]]
Bearbeitungsstand
fertig
Fertig! Dieser Text wurde zweimal anhand der Quelle Korrektur gelesen. Die Schreibweise folgt dem Originaltext.
Um eine Seite zu bearbeiten, brauchst du nur auf die entsprechende [Seitenzahl] zu klicken. Weitere Informationen findest du hier: Hilfe
Indexseite
Die Grundgleichungen für die elektromagnetischen Vorgänge in bewegten Körpern.


Von
Hermann Minkowski
Vorgelegt in der Sitzung vom 21. Dezember 1907.


Inhaltsübersicht. Einleitung: Theorie von Lorentz; Theorem, Postulat, Prinzip der Relativität.§ 1. Bezeichnungen.

Erster Teil: Betrachtung des Grenzfalles Äther.§ 2. Die Grundgleichungen für den Äther.§ 3. Das Theorem der Relativität von Lorentz.§4. Spezielle Lorentz-Transformationen.§ 5. Raum-Zeit-Vektoren I. und II. Art.§ 6. Begriff der Zeit.

Zweiter Teil: Die elektromagnetischen Vorgänge.§ 7. Die Grundgleichungen für ruhende Körper.§ 8. Die Grundgleichungen für bewegte Körper.§ 9. Die Grundgleichungen in der Theorie von Lorentz.§ 10. Die Grundgleichungen nach E. Cohn.§ 11. Typische Darstellung der Grundgleichungen.§ 12. Der Differentialoperator lor.§ 13. Das Produkt der Feldvektoren fF. — § 14. Die ponderomotorischen Kräfte.

Anhang: Mechanik und Relativitätspostulat — Raum-Zeit-Linien, Eigenzeit, Anpassung des Hamiltonschen Prinzipes, Energiesatz und Bewegungsgleichungen, Gravitation.

Einleitung.

[WS 1]

Ueber die Grundgleichungen der Elektrodynamik für bewegte Körper herrschen zur Zeit noch Meinungsverschiedenheiten. Die Ansätze von Hertz[1] (1890) mußten verlassen werden, weil sich herausgestellt hat, daß sie mit verschiedenen experimentellen Ergebnissen in Widerspruch geraten.

1895 publizierte H. A. Lorentz[2] seine Theorie der optischen und elektrischen Erscheinungen in bewegten Körpern, die, auf atomistischer Vorstellung von der Elektrizität fußend, durch ihre großen Erfolge die kühnen Hypothesen, von denen sie getragen und durchsetzt wird, zu rechtfertigen scheint. Die Lorentzsche Theorie[3] geht aus von gewissen ursprünglichen Gleichungen, die an jedem Punkte des „Äthers“ gelten sollen und gelangt daraus durch Mittelwertsbildungen über „physikalisch unendlich kleine“ Bereiche, die schon zahlreiche „Elektronen“ enthalten, zu den Gleichungen für die Vorgänge in ponderablen Körpern.

Insbesondere gibt sich die Lorentzsche Theorie Rechenschaft von der Nichtexistenz einer Relativbewegung der Erde gegen den Lichtäther; sie bringt diese Tatsache in Zusammenhang mit einer Kovarianz jener ursprünglichen Gleichungen bei gewissen gleichzeitigen Transformationen der Raum- und Zeitparameter, die von H. Poincaré[4] den Namen Lorentz-Transformationen erhalten haben. Für jene ursprünglichen Gleichungen ist die Kovarianz bei den Lorentz-Transformationen eine rein mathematische Tatsache, die ich das Theorem der Relativität nennen will; dieses Theorem beruht wesentlich auf der Gestalt der Differentialgleichung für die Fortpflanzung von Wellen mit Lichtgeschwindigkeit.

Nun kann man, ohne noch zu bestimmten Hypothesen über den Zusammenhang von Elektrizität und Materie sich zu bekennen, erwarten, jenes mathematisch evidente Theorem werde seine Konsequenzen soweit erstrecken, daß dadurch auch die noch nicht erkannten Gesetze in Bezug auf ponderable Körper irgendwie eine Kovarianz bei den Lorentz-Transformationen übernehmen werden. Man äußert damit mehr eine Zuversicht, als bereits eine fertige Einsicht, und diese Zuversicht will ich das Postulat der Relativität nennen. Die Sachlage ist erst ungefähr eine solche, als wenn man die Erhaltung der Energie postuliert in Fällen, wo die auftretenden Formen der Energie noch nicht erkannt sind.

Gelangt man hernach dazu, die erwartete Kovarianz als einen bestimmten Zusammenhang zwischen lauter beobachtbaren Größen bei bewegten Körpern zu behaupten, so mag alsdann dieser bestimmte Zusammenhang das Prinzip der Relativität heißen.

Diese Unterscheidungen scheinen mir nützlich, um den gegenwärtigen Stand der Elektrodynamik bewegter Körper charakterisieren zu können.

H. A. Lorentz hat das Relativitätstheorem gefunden und das Relativitätspostulat geschaffen, als eine Hypothese, daß Elektronen und Materie infolge von Bewegung Kontraktionen nach einem gewissen Gesetze erfahren.

A. Einstein[5] hat es bisher am schärfsten zum Ausdruck gebracht, daß dieses Postulat nicht eine künstliche Hypothese ist, sondern vielmehr eine durch die Erscheinungen sich aufzwingende neuartige Auffassung des Zeitbegriffs.

Das Prinzip der Relativität jedoch in dem von mir gekennzeichneten Sinne ist für die Elektrodynamik bewegter Körper bisher noch gar nicht formuliert worden. In der gegenwärtigen Abhandlung erhalte ich, indem ich dieses Prinzip formuliere, die Grundgleichungen für bewegte Körper in einer durch dieses Prinzip völlig eindeutig bestimmten Fassung. Dabei wird sich zeigen, daß keine der bisher für diese Gleichungen angenommenen Formen sich diesem Prinzipe genau fügt.

Man sollte vor Allem erwarten, daß die von Lorentz angenommenen Grundgleichungen für bewegte Körper dem Relativitätspostulate entsprächen. Es zeigt sich indeß, daß dieses nicht der Fall ist für die allgemeinen Gleichungen, die Lorentz für beliebige, auch magnetisierte Körper hat, daß es aber allerdings approximativ (unter Vernachlässigung der Quadrate der Geschwindigkeiten der Materie gegen das Quadrat der Lichtgeschwindigkeit) der Fall ist für diejenigen Gleichungen, die Lorentz hernach für nichtmagnetisierte Körper erschließt; es kommt aber diese spätere Anpassung an das Relativitätspostulat wieder nur dadurch zu Stande, daß die Bedingung des Nichtmagnetisiertseins ihrerseits in einer dem Relativitätspostulate nicht entsprechenden Weise angesetzt wird, also durch eine zufällige Kompensation zweier Widersprüche gegen das Relativitätspostulat. Indessen bedeutet diese Feststellung keinerlei Einwand gegen die molekulartheoretischen Hypothesen von Lorentz, sondern es wird nur klar, daß die Annahme der Kontraktion der Elektronen bei Bewegung in der Lorentzschen Theorie schon an einer früheren Stelle, als dieses durch Lorentz geschieht, eingeführt werden müßte.

In einem Anhange gehe ich noch auf die Stellung der klassischen Mechanik zum Relativitätspostulate ein. Eine leicht vorzumehmende Anpassung der Mechanik an das Relativitätspostulat würde für die beobachtbaren Erscheinungen kaum merkliche Differenzen ergeben, würde aber zu einem sehr überraschenden Erfolge führen: Mit der Voranstellung des Relativitätspostulates schafft man sich genau das hinreichende Mittel, um hernach die vollständigen Gesetze der Mechanik allein aus dem Satze von der Erhaltung der Energie (und Aussagen über die Formen der Energie) zu entnehmen.

§ 1. Bezeichnungen.

Ein Bezugsystem rechtwinkliger Koordinaten im Raume und der Zeit sei gegeben. Die Zeiteinheit soll in solcher Beziehung zur Längeneinheit gewählt sein, daß die Lichtgeschwindigkeit im leeren Raume 1 ist.

Obwohl ich an sich vorziehen würde, die von Lorentz gebrauchten Bezeichnungen nicht zu ändern, scheint es mir doch wichtig, gewisse Zusammengehörigkeiten durch eine andere Wahl der Zeichen von vorn herein hervortreten zu lassen. Ich werde den Vektor

der elektrischen Kraft , der magnetischen Erregung , der elektrischen Erregung , der magnetischen Kraft

nennen, sodaß also an die Stelle von bei Lorentz treten sollen.

Ich werde mich ferner des Gebrauchs komplexer Größen in einer Weise, wie dies bisher in physikalischen Untersuchungen noch nicht üblich war, bedienen, namentlich statt mit mit der Verbindung operieren, wobei die imaginäre Einheit bedeute. Andererseits werden ganz wesentliche Umstände in Evidenz treten, indem ich eine Schreibweise mit Indizes benutzen werde, nämlich oft an Stelle von

setzen und hierauf einen allgemeinen Gebrauch der Indizes 1, 2, 3, 4 gründen werde. Dabei wird es sich, wie ich ausdrücklich hervorhebe, stets nur um eine übersichtlichere Zusammenfassung rein reeller Beziehungen handeln, und der Übergang zu reellen Gleichungen wird sich überall sofort vollziehen lassen, indem von den Zeichen mit Indizes solche mit einem Index 4 stets rein imaginäre Werte, solche mit keinem Index 4 oder mit zwei Indizes 4 stets reelle Werte bedeuten werden.

Ein einzelnes Wertsystem bes. soll ein Raum-Zeitpunkt heißen.

Ferner bezeichne den Vektor Geschwindigkeit der Materie, die Dielektrizitätskonstante, die magnetische Permeabilität, die Leitfähigkeit der Materie, sämtlich als Funktionen von (oder ) gedacht, weiter die elektrische Raumdichte, einen Vektor „elektrischer Strom“, zu dessen Definition wir erst in der Folge (in § 7 und 8) kommen werden.

Erster Teil. Betrachtung des Grenzfalles Äther.

§ 2. Die Grundgleichungen für den Äther.

Die Lorentzsche Theorie führt die Gesetze der Elektrodynamik der ponderablen Körper durch atomistische Vorstellungen von der Elektrizität zurück auf einfachere Gesetze; an diese einfacheren Gesetze knüpfen wir hier ebenfalls an, indem wir fordern, daß sie den Grenzfall der Gesetze für ponderable Körper bilden sollen. In diesem idealen Grenzfalle soll sein und sollen an jedem Raum-Zeitpunkte die Gleichungen bestehen:

(I)
(II)
(III)
(IV)

Ich will nun schreiben für , weiter

für

d. s. die Komponenten des Konvektionsstromes und die mit multiplizierte Raumdichte der Elektrizität, ferner

für

d. s. die Komponenten von bez. nach den Axen, endlich noch allgemein bei zwei der Reihe 1, 2, 3, 4 entnommenen Indizes

also

festsetzen.

Alsdann schreiben sich die drei in (I) zusammengefaßten Gleichungen und die mit multiplizierte Gleichung (II):

(A)

Andererseits verwandeln sich die drei in (III) zasammengefaßten Gleichungen, mit multipliziert, und die Gleichung (IV), mit -1 multipliziert, in

(B)

Man bemerkt bei dieser Schreibweise sofort die vollkommene Symmetrie des ersten wie des zweiten dieser Gleichungssysteme in Bezug auf die Permutationen der Indizes 1, 2, 3, 4.

§ 3. Das Theorem der Relativität von Lorentz.

Die Schreibweise der Gleichungen (I) — (IV) in der Symbolik des Vektorkalküls dient bekanntermaßen dazu, eine Invarianz (oder besser Kovarianz) des Gleichungssystems (A) wie des Gleichungssystems (B) bei einer Drehung des Koordinatensystems um den Nullpunkt in Evidenz zu setzen. Nehmen wir z. B. eine Drehung um die -Axe um einen festen Winkel vor unter Festhaltung der Vektoren im Raume, führen also anstatt Variabeln ein durch

dazu neue Größen durch

neue Größen durch

so wird notwendig aus (A) das genau entsprechende System (A’), aus (B) das genau entsprechende System (B’) zwischen den neuen, mit Strichen versehenen Größen folgen.

Nun läßt sich auf Grund der Symmetrie des Systems (A) wie des Systems (B) in den Indizes 1, 2, 3, 4 sofort ohne jede Rechnung das von Lorentz gefundene Theorem der Relativität entnehmen.

Ich will unter eine rein imaginäre Größe verstehen und die Substitution

(1)

betrachten. Mittelst

(2)
wird

wobei ausfällt und mit dem positiven Vorzeichen zu nehmen ist. Schreiben wir noch

(3)

so nimmt daher die Substitution (1) die Gestalt

(4)

mit lauter reellen Koeffizienten an.

Ersetzen wir nun in den oben bei der Drehung um die -Axe genannten Gleichungen überall 1, 2, 3, 4 durch 3, 4, 1, 2, und gleichzeitig durch , so erkennen wir, daß wenn gleichzeitig mit dieser Substitution (1) neue Größen durch

neue Größen durch

eingeführt werden, alsdann ebenfalls das System (A) in das genau entsprechende System (A’), das System (B) in das genau entsprechende System (B’) zwischen den neuen, mit Strichen versehenen Größen übergehen wird.

Alle diese Gleichungen lassen sich sofort in rein reelle Gestalt umschreiben und man kann das letzte Ergebnis so formulieren:

Wird die reelle Transformation (4) vorgenommen und werden hernach als ein Bezugsystem für Raum und Zeit angesprochen, werden zugleich

(5)

ferner

(6)

und

(7)

eingeführt[6], so kommen hernach für die Vektoren mit den Komponenten in dem neuen Koordinatensystem und dazu die Größe genau die zu (I) — (IV) analogen Gleichungen (I’) — (IV’) zu Stande, und zwar geht für sich das System (I), (II) in (I’), (II’), das System (III), (IV) in (III’), (IV’) über.

Wir bemerken, daß hier die Komponenten des Vektors sind, wenn einen Vektor in Richtung der positiven -Axe vom Betrage und das vektorielle Produkt der Vektoren und bedeutet. Analog sind dann Komponenten des Vektors .

Die Gleichungen (6) und (7), wie sie paarweise unter einander stehen, können durch eine andere Verwendung imaginärer Großen in

zusammengefaßt werden, und wir merken noch an, daß wenn irgend einen reellen Winkel bedeutet, aus diesen letzten Beziehungen ferner die Kombinationen

(8)

(9)

hervorgehen.

§ 4. Spezielle Lorentz-Transformationen.

Die Rolle, welche die -Richtung in der Transformation (4) spielt, kann leicht auf eine beliebige Richtung übertragen werden, indem sowohl das Axensystem der wie das der jedes einer und der nämlichen Drehung in Bezug auf sich unterworfen wird. Wir kommen damit zu einem allgemeineren Satze.

Es sei mit den Komponenten ein gegebener Vektor mit einem solchen von Null verschiedenen Betrage , der kleiner als 1 ist, von irgend einer Richtung. Wir verstehen allgemein unter eine beliebige auf senkrechte Richtung und bezeichnen ferner die Komponente eines Vektors nach der Richtung oder einer Richtung mit bez. .

Anstatt sollen nun neue Größen in folgender Weise eingeführt werden. Wird kurz für den Vektor mit den Komponenten im ersten, ferner für den Vektor mit den Komponenten im zweiten Bezugsystem geschrieben, so soll sein für die Richtung von :

(10)

für jede auf senkrechte Richtung :

(11)

und ferner:

(12)

Die Bezeichnungen und hier sind in dem Sinne zu verstehen, daß der Richtung und jeder zu senkrechten Richtung in immer die Richtung mit den nämlichen Richtungskosinus in zugeordnet wird.

Eine Transformation, wie sie durch (10), (11), (12) mit der Bedingung dargestellt wird, will ich eine spezielle Lorentz-Transformation nennen, und soll der Vektor, die Richtung von die Axe, der Betrag von das Moment dieser speziellen Lorentz-Transformation heißen.

Werden weiter und die Vektoren in dadurch definiert, daß

(13)
(14)

ferner[7]

(15)

ist, so folgt der Satz, daß das Gleichungssystem (I), (II) und (III), (IV) jedesmal in das genau entsprechende System zwischen den mit Strichen versehenen Größen übergeht.

Die Auflösung der Gleichungen (10), (11), (12) führt auf:

(16)

Wir schließen nun eine in der Folge sehr wichtige Bemerkung über die Beziehung der Vektoren und an. Es möge wieder die schon mehrfach gebrauchte Bezeichnung mit den Indizes 1, 2, 3, 4 herangezogen werden, sodaß wir für und für setzen. Wie eine Drehung um die -Achse, so ist offenbar auch die Transformation (4) und allgemeiner die Transformation (10), (11), (12) eine solche lineare Transformation von der Determinante +1, wodurch

(17) d. i.

in

d. i.

übergeht.

Es wird daher auf Grund der Ausdrücke (13), (14) auch

in übergehen, oder mit andern Worten

(18)

wobei die Quadratwurzel positiv genommen sei, eine Invariante bei Lorentz-Transformationen sein.

Indem wir durch diese Größe dividieren, entstehen die 4 Werte

zwischen welchen die Beziehung

(19)

besteht. Offenbar sind diese 4 Werte eindeutig durch den Vektor bestimmt, und umgekehrt folgt aus irgend 4 Werten wobei reell, reell und positiv ist und die Bedingung (19) statthat, rückwärts gemäß diesen Gleichungen eindeutig ein Vektor von einem Betrage .

Die Bedeutung von hier ist, daß sie die Verhältnisse von zu

(20)

für die im Raum-Zeitpunkte befindliche Materie beim Übergang zu zeitlich benachbarten Zuständen derselben Stelle der Materie sind. Nun übertragen sich die Gleichungen (10), (11), (12) sofort auf die zusammengehörigen Differentiale und und insbesondere wird daher für sie

sein. Nach Ausführung der Lorentz-Transformation ist im neuen Bezugsystem als Geschwindigkeit der Materie im nämlichen Raum-Zeitpunkte der Vektor mit den Verhältnissen als Komponenten auszulegen.

Nunmehr ist ersichtlich, daß das Wertsystem

vermöge der Lorentz-Transformation (10), (11), (12) eben in dasjenige neue Wertsystem

übergeht, das für die Geschwindigkeit nach der Transformation genau die Bedeutung hat wie das erstere Wertsystem für die Geschwindigkeit vor der Transformation.

Ist insbesondere der Vektor der speziellen Lorentz-Transformation gleich dem Geschwindigkeitsvektor der Materie im Raum-Zeitpunkte , so folgt aus (10), (11), (12):

Unter diesen Umständen erhält also der betreffende Raum-Zeitpunkt nach der Transformation die Geschwindigkeit , er wird, wie wir uns ausdrücken können, auf Ruhe transformiert. Wir können danach die Invariante passend als Ruh-Dichte der Elektrizität bezeichnen.

§ 5. Raum-Zeit-Vektoren Iter und IIter Art.

Indem wir das Hauptergebnis bezüglich der speziellen Lorentz-Transformationen mit der Tatsache zusammennehmen, daß das System (A) wie das System (B) jedenfalls bei einer Drehung des räumlichen Bezugsystems um den Nullpunkt kovariant ist, erhalten wir das allgemeine Theorem der Relativität. Um es leicht verständlich zu formulieren, dürfte es zweckmäßig sein, zuvor eine Reihe von abkürzenden Ausdrücken festzulegen, während ich andererseits daran festhalten will, komplexe Größen zu verwenden, um bestimmte Symmetrien in Evidenz zu setzen.

Eine lineare homogene Transformation

(21)

von der Determinante +1, in welcher alle Koeffizienten ohne einen Index 4 reell, dagegen sowie rein imaginär (ev. Null), endlich wieder reell und speziell ist und durch welche

in

übergeht, will ich allgemein eine Lorentz-Transformation nennen.

Wird

gesetzt, so entsteht daraus sofort eine homogene lineare Transformation von in mit lauter reellen Koeffizienten, wobei das Aggregat

in

übergeht und einem jeden solchen Wertesystem mit positivem , wofür dieses Aggregat ausfällt, stets auch ein positives entspricht; letzteres ist aus der Kontinuität des Aggregats in leicht ersichtlich.

Die letzte Vertikalreihe des Koeffizientensystems von (21) hat die Bedingung

(22)

zu erfüllen.

Sind , so ist und die Lorentz-Transformation reduziert sich auf eine bloße Drehung des räumlichen Koordinatensystems um den Nullpunkt.

Sind nicht sämtlich Null und setzt man

so folgt aus (22) der Betrag

Andererseits kann man zu jedem Wertesystem das in dieser Weise mit reellen die Bedingung (22) erfüllt, die spezielle Lorentz-Transformation (16) mit als letzter Vertikalreihe konstruieren und jede Lorentz-Transformation mit der nämlichen letzten Vertikalreihe der Koeffizienten kann alsdann zusammengesetzt werden aus dieser speziellen Lorentz-Transformation und einer sich daran anschließenden Drehung des räumlichen Koordinatensystems um den Nullpunkt.

Die Gesamtheit aller Lorentz-Transformationen bildet eine Gruppe.

Unter einem Raum-Zeit-Vektor I. Art soll verstanden werden ein beliebiges System von vier Größen mit der Vorschrift, bei jeder Lorentz-Transformation (21) es durch dasjenige System zu ersetzen, das aus (21) für die Werte hervorgeht, wenn für die Werte genommen werden.

Verwenden wir neben dem variabeln Raum-Zeit-Vektor I. Art einen zweiten solchen variabeln Raum-Zeit-Vektor I. Art und fassen die bilineare Verbindung

(23)

mit sechs Koeffizienten auf. Wir bemerken, daß diese einerseits sich in vektorieller Schreibweise aus den 4 Vektoren

und den Konstanten und aufbauen läßt, andererseits symmetrisch in den Indizes 1, 2, 3, 4 ist. Indem wir und gleichzeitig gemäß der Lorentz-Transformation (21) substituieren, geht (23) in eine Verbindung

(24)

mit gewissen allein von den 6 Größen und den 16 Koeffizienten abhängenden 6 Koeffizienten über.

Einen Raum-Zeit-Vektor II. Art definieren wir als ein System von sechs Größen mit der Vorschrift, es bei jeder Lorentz-Transformation durch dasjenige neue System zu ersetzen, das dem eben erörterten Zusammenhange der Form (23) mit der Form (24) entspricht.

Das allgemeine Theorem der Relativität betreffend die Gleichungen (I)—(IV), die „Grundgleichungen für den Äther“, spreche ich nunmehr folgendermaßen aus.

Werden (Raumkoordinaten und Zeit ) einer beliebigen Lorentz-Transformation unterworfen und gleichzeitig (Konvektionsstrom und Ladungsdichte ) als Raum-Zeit-Vektor I. Art, ferner (magnetische Kraft und elektrische Erregung ) als Raum-Zeit-Vektor II. Art transformiert, so geht das System der Gleichungen (I), (II) und das System der Gleichungen (III), (IV) je in das System der entsprechend lautenden Beziehungen zwischen den entsprechenden neu eingeführten Größen über.

Kürzer mag diese Tatsache auch mit den Worten angedeutet werden: Das System der Gleichungen (I), (II) wie das System der Gleichungen (III), (IV) ist kovariant bei jeder Lorentz-Transformation, wobei als Raum-Zeit-Vektor I. Art, als Raum-Zeit-Vektor II. Art zu transformieren ist. Oder noch prägnanter:

ist ein Raum-Zeit-Vektor I. Art, ist ein Raum-Zeit-Vektor II. Art.

Ich füge noch einige Bemerkungen hier an, um die Vorstellung eines Raum-Zeit-Vektors II. Art zu erleichtern. Invarianten für einen solchen Vektor bei der Gruppe der Lorentz-Transformationen sind offenbar

(25)
(26)

Ein Raum-Zeit-Vektor II. Art , (wobei und reelle Raum-Vektoren sind), mag singulär heißen, wenn das skalare Quadrat , d. h. und zugleich ist, d. h. die Vektoren und gleichen Betrag haben und zudem senkrecht aufeinander stehen. Wenn solches der Fall ist, bleiben diese zwei Eigenschaften für den Raum-Zeit-Vektor II. Art bei jeder Lorentz-Transformation erhalten.

Ist der Raum-Zeit-Vektor II. Art nicht singulär, so drehen wir zunächst das räumliche Koordinatensystem so, daß das Vektorprodukt in die -Axe fällt, daß ist. Dann ist , also verschieden von und wir können daher ein komplexes Argument derart bestimmen, daß

ist. Alsdann wird mit Rücksicht auf die Gleichung (9) durch die zu gehörige Transformation (1) und eine nachherige Drehung um die -Axe durch den Winkel eine Lorentz-Transformation bewirkt, nach der auch noch werden, also nunmehr und beide in die neue -Linie fallen; dabei sind durch die Invarianten und die schließlichen Größen dieser Vektoren und ob sie von gleicher oder entgegengesetzter Richtung werden oder einer Null wird, von vornherein fixiert.

§ 6. Begriff der Zeit.

Durch die Lorentz-Transformationen werden gewisse Abänderungen des Zeitparameters zugelassen. Infolgedessen ist es nicht mehr statthaft, von der Gleichzeitigkeit zweier Ereignisse an sich zu sprechen. Die Verwendung dieses Begriffs setzt vielmehr voraus, daß die Freiheit der 6 Parameter, die zur Angabe eines Bezugsystems für Raum und Zeit offen steht, bereits in gewisser Weise auf eine Freiheit von nur 3 Parametern eingeschränkt ist. Nur weil wir gewohnt sind, diese Einschränkung stark approximativ eindeutig zu treffen, halten wir den Begriff der Gleichzeitigkeit zweier Ereignisse als an sich existierend[8]. In Wahrheit aber sollen folgende Umstände zutreffen.

Ein Bezugsystem für Raum-Zeitpunkte (Ereignisse) sei irgendwie bekannt. Wird ein Raumpunkt zur Zeit mit einem anderen Raumpunkte zu einer anderen Zeit verglichen und ist die Zeitdifferenz (es sei etwa ) kleiner als die Länge , d. i. die Zeit, die das Licht zur Fortpflanzung von nach braucht, und ist der Quotient , so können wir durch die spezielle Lorentz-Transformation, die als Axe und als Moment hat, einen neuen Zeitparameter einführen, der (s. Gleich. (12) in § 4) für beide Raum-Zeitpunkte und den gleichen Wert erlangt; es lassen sich also diese zwei Ereignisse auch als gleichzeitig auffassen.

Nehmen wir weiter zu einer und derselben Zeit zwei verschiedene Raumpunkte oder drei Raumpunkte die nicht in einer Geraden liegen, und vergleichen damit einen Raumpunkt außerhalb der Geraden oder der Ebene zu einer anderen Zeit und ist die Zeitdifferenz (es sei etwa kleiner als die Zeit, die das Licht zur Fortpflanzung von der Geraden oder der Ebene nach braucht, und der Quotient aus der ersteren und der letzteren Zeit, so erscheinen nach Anwendung der speziellen Lorentz-Transformation, die als Axe das Lot auf , bez. durch und als Moment hat, alle 3 (beziehungsweise 4) Ereignisse und als gleichzeitig.

Werden jedoch vier Raumpunkte, die nicht in einer Ebene liegen, zu einer und derselben Zeit aufgefaßt, so ist es nicht mehr möglich, durch eine Lorentz-Transformation eine Abänderung des Zeitparameters vorzunehmen, ohne daß der Charakter der Gleichzeitigkeit dieser vier Raum-Zeitpunkte verloren geht.

Dem Mathematiker, der an Betrachtungen über mehrdimensionale Mannigfaltigkeiten und andererseits an die Begriffsbildungen der sogenannten nicht-Euklidischen Geometrie gewohnt ist, kann es keine wesentliche Schwierigkeit bereiten, den Begriff der Zeit an die Verwendung der Lorentz-Transformationen zu adaptieren. Dem Bedürfnisse, sich das Wesen dieser Transformationen physikalisch näher zu bringen, kommt der in der Einleitung zitierte Aufsatz von A. Einstein entgegen.

Zweiter Teil. Die elektromagnetischen Vorgänge.

§ 7. Die Grundgleichungen für ruhende Körper.

Nach diesen vorbereitenden Ausführungen, die wir des etwas geringeren mathematischen Apparates wegen an dem idealen Grenzfalle entwickelten, wenden wir uns jetzt zu den Gesetzen für die elektromagnetischen Vorgänge in der Materie. Wir suchen diejenigen Beziehungen, die es — unter Voraussetzung geeigneter Grenzdaten — ermöglichen, an jedem Orte und zu jeder Zeit, also als Funktionen von zu finden: die Vektoren der elektrischen Kraft , der magnetischen Erregung , der elektrischen Erregung , der magnetischen Kraft , die elektrische Raumdichte , den Vektor „elektrischer Strom “, (dessen Beziehung zum Leitungsstrom hernach durch die Art des Auftretens der Leitfähigkeit zu erkennen sein wird), endlich den Vektor , die Geschwindigkeit der Materie.

Die fraglichen Beziehungen scheiden sich in zwei Klassen,

erstens diejenigen Gleichungen, die, wenn der Vektor als Funktion von gegeben, also die Bewegung der Materie bekannt ist, zur Kenntnis aller anderen eben genannten Grössen als Funktionen von hinführen, — diese erste Klasse speziell will ich die Grundgleichungen nennen, —

zweitens die Ausdrücke für die ponderomotorischen Kräfte, die durch Heranziehen der Gesetze der Mechanik weiter Aufschluß über den Vektor als Funktion von bringen.

Für den Fall ruhender Körper, d. i. wenn gegeben ist, kommen die Theorien von Maxwell (Heaviside, Hertz) und von Lorentz zu den nämlichen Grundgleichungen. Es sind dies

1) die Differentialgleichungen, die noch keine auf die Materie bezüglichen Konstanten enthalten:

2) weitere Beziehungen, die den Einfluß der vorhandenen Materie charakterisieren; sie werden in dem wichtigsten Falle, auf den wir uns hier beschränken, für isotrope Körper, angesetzt in der Gestalt
(V)

wobei die Dielektrizitätskonstante, die magnetische Permeabilität, die Leitfähigkeit der Materie als Funktionen von und bekannt zu denken sind. ist hier als Leitungsstrom anzusprechen.

Ich lasse nun an diesen Gleichungen wieder durch eine veränderte Schreibweise eine noch versteckte Symmetrie hervortreten. Ich setze wie in den vorangeschickten Ausführungen

und schreibe

für

ferner

für

und noch

für

endlich soll für andere Paare von ungleichen, der Reihe 1, 2, 3, 4 entnommenen Indizes stets

gelten. (Die Buchstaben sollen an das Wort Feld, an Strom erinnern.)

Dann schreiben sich die Gleichungen (I), (II) um in

(A)
und die Gleichungen (III), (IV) schreiben sich um in
(B)

§ 8. Die Grundgleichungen für bewegte Körper.

Nunmehr wird es uns gelingen, die Grundgleichungen für beliebig bewegte Körper in eindeutiger Weise festzustellen, ausschließlich mittelst folgender drei Axiome:

Das erste Axiom soll sein:

Wenn eine einzelne Stelle der Materie in einem Momente ruht, also der Vektor für ein System Null ist, — die Umgebung mag in irgend welcher Bewegung begriffen sein —, so sollen für den Raum-Zeitpunkt zwischen , den Vektoren und deren Ableitungen nach genau die Beziehungen (A), (B), (V) statthaben, die zu gelten hätten, falls alle Materie ruhte.

Das zweite Axiom soll sein:

Jede Geschwindigkeit der Materie ist <1, kleiner als die Fortpflanzungsgeschwindigkeit des Lichtes im leeren Raume.

Das dritte Axiom soll sein:

Die Grundgleichungen sind von solcher Art, daß wenn irgend einer Lorentz-Transformation unterworfen und dabei einerseits , andererseits je als Raum-Zeit-Vektor II. Art, als Raum-Zeit-Vektor I. Art transformiert werden, die Gleichungen dadurch in die genau entsprechend lautenden Gleichungen zwischen den transformierten Größen übergehen.

Dieses dritte Axiom deute ich auch kurz mit den Worten an:

und sind je ein Raum-Zeit-Vektor II. Art, ein Raum-Zeit-Vektor I. Art, und dieses Axiom nenne ich das Prinzip der Relativität.

Diese drei Axiome führen uns in der Tat von den vorhin genannten Grundgleichungen für ruhende Körper in eindeutiger Weise zu den Grundgleichungen für bewegte Körper.

Nämlich nach dem zweiten Axiom ist in jedem Raum-Zeitpunkte der Betrag des Geschwindigkeitsvektors . Infolgedessen können wir dem Vektor stets umkehrbar eindeutig das Quadrupel von Größen

zuordnen, zwischen denen die Beziehung

(27)

statthat. Aus den Ausführungen am Schlusse des § 4 ist ersichtlich, daß dieses Quadrupel sich bei Lorentz-Transformationen als Raum-Zeit-Vektor I. Art verhält, und wir wollen es den Raum-Zeit-Vektor Geschwindigkeit nennen.

Fassen wir nun eine bestimmte Stelle der Materie zu einer bestimmten Zeit auf. Ist in diesem Raum-Zeitpunkte , so haben wir für ihn nach dem ersten Axiom unmittelbar die Gleichungen (A), (B), (V) aus § 7. Ist in ihm , so existiert, weil ist, nach (16) eine spezielle Lorentz-Transformation, deren Vektor gleich diesem Vektor ist, und wir gehen allgemein zu einem neuen Bezugsystem gemäß dieser bestimmten Transformation über. Für den betrachteten Raum-Zeitpunkt entstehen dabei, wie wir in § 4 sahen, die neuen Werte

(28)

und also der neue Geschwindigkeitsvektor , der Raum-Zeitpunkt wird, wie wir uns dort ausdrückten, auf Ruhe transformiert. Nun sollen nach dem dritten Axiom aus den Grundgleichungen für den Raum-Zeitpunkt dabei die Grundgleichungen für das entsprechende System geschrieben in den transformierten Größen und deren Differentialquotienten nach hervorgehen. Diese letzteren Gleichungen aber müssen, nach dem ersten Axiom, weil jetzt ist, genau sein:

1) diejenigen Differentialgleichungen (A’), (B’), die aus (A) und (B) einfach dadurch hervorgehen, daß alle Buchstaben dort mit einem oberen Strich versehen werden,

2) die Gleichungen

(V’)

wobei Dielektrizitätskonstante, magnetische Permeabilität, Leitfähigkeit für das System d. i. also im betrachteten Raum-Zeitpunkte der Materie sind.

Jetzt gehen wir durch die reziproke Lorentz-Transformation rückwärts zu den ursprünglichen Variabeln und den Größen und die Gleichungen, die wir dann aus den eben genannten erhalten, werden die von uns gesuchten allgemeinen Grundgleichungen für bewegte Körper sein.

Nun ist aus den Ausführungen in § 4 und § 5 zu ersehen, daß sowohl das Gleichungssystem (A) für sich wie das Gleichungssystem (B) für sich kovariant bei den Lorentz-Transformationen ist; d.h. die Gleichungen, die wir von (A’), (B’), rückwärts erlangen, müssen genau gleichlauten mit den Gleichungen (A), (B), wie wir sie für ruhende Körper annahmen. Wir haben also als erstes Ergebnis:

Von den Grundgleichungen der Elektrodynamik für bewegte Körper lauten die Differentialgleichungen, geschrieben in und den Vektoren genau wie für ruhende Körper. Die Geschwindigkeit der Materie tritt in diesen Gleichungen noch nicht auf. In vektorieller Schreibweise sind diese Gleichungen also wieder

(I)
(II)
(III)
(IV)

Die Geschwindigkeit der Materie wird ausschließlich auf die Zusatzbedingungen verwiesen, welche den Einfluß der Materie auf Grund ihrer speziellen Konstanten charakterisieren. Transformieren wir jetzt diese Zusatzbedingungen (V’) zurück auf die ursprünglichen Koordinaten und die ursprüngliche Zeit .

Nach den Formeln (15) in § 4 ist für die Richtung des Vektors die Komponente von dieselbe wie von , die von dieselbe wie von , für jede dazu senkrechte Richtung aber ist die Komponente von bez. gleich der entsprechenden Komponente von bez. von , jedesmal multipliziert noch mit . Andererseits werden und hier zu und in den ganz analogen Beziehungen stehen wie und zu und . So führt die Relation , indem man bei den Vektoren zuerst die Komponenten nach der Richtung , dann diejenigen nach zwei zu und auf einander senkrechten Richtungen behandelt und die in letzteren Fällen entstehenden Gleichungen mit multipliziert, zu

(C)

Die Relation wird analog auf

(D)

hinauslaufen.

Weiter folgt nach den Transformationsgleichungen (12), (10), (11) in § 4, indem dort durch zu ersetzen sind,

sodaß aus nunmehr

(E)

hervorgeht. Nach der Art, wie hier die Leitfähigkeit eingeht, wird es angemessen sein, den Vektor mit den Komponenten nach der Richtung und nach den auf senkrechten Richtungen , der für verschwindet, als Leitungsstrom zu bezeichnen.

Wir bemerken, daß für die Gleichungen durch die reziproke Lorentz-Transformation, die hier die spezielle mit als Vektor wird, gemäß (15) sofort zu führen und daß für die Gleichung zu führt, sodaß in der Tat als Grenzfall der hier erhaltenen Gleichungen für sich die in § 2 betrachteten „Grundgleichungen für den Äther“ ergeben.

§ 9. Die Grundgleichungen in der Theorie von Lorentz.

Sehen wir nun zu, inwieweit die Grundgleichungen, die Lorentz annimmt, dem Relativitätspostulate, das soll heißen dem in § 8 formulierten Relativitätsprinzipe entsprechen. In dem Artikel „Elektronentheorie“ (Encykl. der math. Wiss., Bd. V 2, Art. 14) hat Lorentz für beliebige, auch magnetisierte Körper zunächst die Differentialgleichungen (s. dort S. 209 unter Berücksichtigung von Gl. XXX’ daselbst und von Formel (14) auf S. 78 desselben Heftes):

(IIIa’’)
(I’’)
(IV’’)
(V’’)

Dann setzt Lorentz für bewegte nicht magnetisierte Körper (S. 223, Z. 3) und nimmt dazu das Eingehen der Dielektrizitätskonstante und der Leitfähigkeit gemäß

(Gl. XXXIV’’’, S. 227)
(Gl. XXXIII’’, S. 223)

an. Die Lorentzschen Zeichen sind hier durch ersetzt, während bei Lorentz als Leitungsstrom bezeichnet wird.

Die drei letzten der zitierten Differentialgleichungen nun decken sich sofort mit den Gleichungen (II), (III), (IV) hier, die erste Gleichung aber würde, indem wir mit dem für verschwindenden Strome identifizieren, in

(29)

übergehen und verschieden von (I) hier ausfallen. Danach entsprechen die allgemeinen Differentialgleichungen von Lorentz für beliebig magnetisierte Körper nicht dem Relativitätsprinzipe.

Andererseits würde die dem Relativitätsprinzipe entsprechende Form für die Bedingung des Nichtmagnetisiertseins aus (D) in § 8 mit nicht wie bei Lorentz als , sondern als

(30) (hier )
anzunehmen sein. Nun geht aber die zuletzt hingeschriebene Differentialgleichung (29) durch in dieselbe Gleichung (abgesehen von der Verschiedenheit der Zeichen) über, in welche (I) hier sich durch verwandeln würde. So kommt es durch eine Kompensation zweier Widersprüche gegen das Relativitätsprinzip zu Stande, daß für nicht magnetisierte bewegte Körper die Differentialgleichungen von Lorentz sich zuletzt dem Relativitätsprinzipe doch anpassen.

Macht man weiter für nicht magnetisierte Körper von (30) hier Gebrauch und setzt demgemäß , so würde zufolge (C) in § 8

anzunehmen sein, d. i. für die Richtung von :

und für jede zu senkrechte Richtung :

d. i. mit der oben genannten Lorentzschen Annahme nur in Übereinstimmung bis auf Fehler von der Ordnung gegen 1.

Auch nur mit dem gleichen Grade der Annäherung entspricht der oben genannte Lorentzsche Ansatz für den durch das Relativitätsprinzip geforderten Beziehungen (vgl. (E) in § 8), daß die Komponenten bez. gleich den entsprechenden Komponenten von , multipliziert in bez. in seien.

§ 10. Die Grundgleichungen nach E. Cohn.

E. Cohn[9] nimmt folgende Grundgleichungen an:

(31)


(32)

wobei als elektrische und magnetische Feldintensität (Kraft), als elektrische und magnetische Polarisation (Erregung) aufgefaßt werden. Die Gleichungen lassen noch das Vorhandensein von wahrem Magnetismus zu; wollen wir davon absehen, so ist zu setzen.

Ein Einwand gegen diese Gleichungen ist, daß nach ihnen für nicht die Vektoren Kraft und Erregung zusammenfallen. Fassen wir jedoch in den Gleichungen nicht und , sondern und als elektrische und magnetische Kraft auf und substituieren im Hinblick hierauf für die Zeichen so gehen zunächst die Differentialgleichungen in unsere Gleichungen über und zugleich verwandeln die Bedingungen (32) sich in

damit würden in der Tat diese Gleichungen von Cohn bis auf Fehler von der Ordnung gegen 1 genau die durch das Relativitätsprinzip geforderten werden.

Erwähnt sei noch, daß die von Hertz angenommenen Gleichungen (in den Bezeichnungen von Cohn) lauten wie (31) mit den anderen Zusatzbedingungen

(33)

und dieses Gleichungssystem würde auch nicht bei irgend welcher veränderten Bezugnahme der Zeichen auf beobachtbare Größen sich dem Relativitätsprinzipe bis auf Fehler von der Ordnung gegen 1 anpassen.

§ 11. Typische Darstellung der Grundgleichungen.

Bei der Aufstellung der Grundgleichungen leitete uns der Gedanke, für sie eine Kovarianz bezüglich der Gruppe der Lorentz-Transformationen zu erzielen. Jetzt haben wir noch die ponderomotorischen Wirkungen und die Umsetzung der Energie im elektromagnetischen Felde zu behandeln, und da kann es von vorn herein nicht zweifelhaft sein, daß die Erledigung dieser Fragen jedenfalls zusammenhängen wird mit den einfachsten, an die Grundgleichungen anknüpfenden Bildungen, die wieder Kovarianz bei den Lorentz-Transformationen zeigen. Um auf diese Bildungen hingewiesen zu werden, will ich vor Allem die Grundgleichungen jetzt in eine typische Form bringen, die ihre Kovarianz bei der Lorentzschen Gruppe in Evidenz setzt. Dabei bediene ich mich einer Rechnungsmethode, die ein abgekürztes Operieren mit den Raum-Zeit-Vektoren I. und II. Art bezweckt, und deren Regeln und Bezeichnungen, soweit sie für uns nützlich sein werden, ich hier zuvörderst zusammenstelle.

1°. Ein System von Größen

angeordnet in -Horizontal-, -Vertikalreihen heißt eine -reihige Matrix[10] und werde mit einem einzigen Zeichen, etwa hier , bezeichnet.

Werden alle Größen mit dem nämlichen Faktor multipliziert, so soll die entstehende Matrix der Größen mit bezeichnet werden.

Werden die Rollen der Horizontal- und Vertikalreihen in vertauscht, so erhält man eine -reihige Matrix, welche die transponierte von heißt und mit bezeichnet werden soll:

Hat man eine zweite Matrix mit gleichen Anzahlen und , wie ,

so soll die ebenfalls -reihige Matrix aus den entsprechenden Binomen bedeuten.

2°. Hat man zwei Matrizen

wobei die Anzahl der Horizontalreihen der zweiten gleich der Anzahl der Vertikalreihen der ersten ist, so wird unter , dem Produkte aus und , die Matrix

verstanden, deren Elemente durch Kombination der Horizontalreihen von und der Vertikalreihen von nach der Regel

gebildet sind. Für solche Produkte gilt das assoziative Gesetz ; hierbei ist unter eine dritte Matrix gedacht mit soviel Horizontalreihen, als (und damit auch ) Vertikalreihen hat.

Für die transponierte Matrix zu gilt .

3°. Es werden hier nur Matrizen in Betracht kommen mit höchstens 4 Horizontalreihen und höchstens 4 Vertikalreihen.

Als Einheitsmatrix (und in Gleichungen für Matrizen kurzweg mit 1) werde die -reihige Matrix der folgenden Elemente

(34)

bezeichnet. Für ein Vielfaches der Einheitsmatrix (in dem unter 1° festgesetzten Sinne einer Matrix ) soll dann in Gleichungen für Matrizen kurzweg stehen.

Für eine -reihige Matrix soll die Determinante aus den Elementen der Matrix bedeuten. Ist dann , so gehört zu eine bestimmte reziproke Matrix, mit bezeichnet, sodaß wird. —

Eine Matrix

in welcher die Elemente die Relationen erfüllen, heißt eine alternierende Matrix. Diese Relationen besagen, daß die transponierte Matrix ist. Alsdann werde mit und als die duale Matrix von die ebenfalls alternierende Matrix
(35)

bezeichnet. Dabei wird

(36)

das soll nun heißen eine -reihige Matrix, in der alle Elemente außerhalb der Hauptdiagonale von links oben nach rechts unten Null sind und alle Elemente in dieser Diagonale unter einander übereinstimmen und gleich der hier rechts genannten Verbindung aus den Koeffizienten von sind. Die Determinante von erweist sich dann als das Quadrat dieser Verbindung und wir wollen das Zeichen eindeutig als die Abkürzung

(37)

erklären.

4°. Eine lineare Transformation

(38)

werde auch einfach durch die -reihige Matrix der Koeffizienten

als Transformation , bezeichnet. Durch die Transformation geht der Ausdruck

in die quadratische Form

über, wobei

wird, d. h. die -reihige (symmetrische) Matrix der Koeffizienten dieser Form wird das Produkt der transponierten Matrix von in die Matrix . Soll also durch die Transformation der neue Ausdruck

hervorgehen, so muß

(39)

die Matrix 1 werden. Dieser Relation hat demnach zu entsprechen, wenn die Transformation (38) eine Lorentz-Transformation sein soll. Für die Determinante von folgt aus (39): . Die Bedingung (39) kommt zugleich auf

(40)

hinaus, d. h. die reziproke Matrix von muß sich mit der transponierten von decken.

Für[WS 2] als Lorentz-Transformation haben wir noch weiter die Bestimmungen getroffen, daß sei, daß jede der Größen rein imaginär (bez. Null), die anderen Koeffizienten in reell seien und endlich noch sei.

5°. Ein Raum-Zeit-Vektor I. Art soll durch die -reihige Matrix seiner 4 Komponenten:

(41)

repräsentiert werden und ist bei einer Lorentz-Transformation durch zu ersetzen.

Ein Raum-Zeit-Vektor II. Art mit den Komponenten , soll durch die alternierende Matrix

(42)

repräsentiert werden und ist (s. die in § 5 (23) und (24) festgesetzte Regel) bei einer Lorentz-Transformation durch zu ersetzen. Dabei gilt in Bezug auf den Ausdruck (37) die Identität . Es wird danach eine Invariante bei den Lorentz-Transformationen (s. Gleich. (26) in § 5).

Für die duale Matrix folgt dann mit Rücksicht auf (36):

woraus zu ersehen ist, daß mit dem Raum-Zeit-Vektor II. Art zusammen auch die zugehörige duale Matrix sich wie ein Raum-Zeit-Vektor II. Art abändert, und es heiße deshalb mit den Komponenten der duale Raum-Zeit-Vektor von .

6°. Sind und zwei Raum-Zeit-Vektoren I. Art, so wird unter (wie auch unter ) die Verbindung

(43)

aus den bezüglichen Komponenten zu verstehen sein. Bei einer Lorentz-Transformation ist wegen diese Verbindung invariant. — Ist , so sollen und normal zu einander heißen.

Zwei Raum-Zeit-Vektoren I. Art geben ferner zur Bildung der -reihigen Matrix

Anlaß. Es zeigt sich dann sofort, daß das System der sechs Größen

(44)

sich bei den Lorentz-Transformationen als Raum-Zeit Vektor II. Art verhält. Der Vektor II. Art mit diesen Komponenten (44) werde mit bezeichnet. Man erschließt leicht . Der duale Vektor von soll geschrieben werden.

Ist ein Raum-Zeit-Vektor I. Art, ein Raum-Zeit-Vektor II. Art, so bedeutet zunächst jedenfalls eine -reihige Matrix. Bei einer Lorentz-Transformation geht in in über; dabei wird , d. h. transformiert sich wieder als ein Raum-Zeit-Vektor I. Art.

Man verifiziert, wenn ein Vektor I., ein Vektor II. Art ist, leicht die wichtige Identität

(45)
Die Summe der zwei Raum-Zeit-Vektoren II. Art links ist im Sinne der Summe zweier alternierenden Matrizen zu verstehen.

Nämlich für wird

und die Bemerkung, daß in diesem speziellen Falle die Relation (45) zutrifft, genügt bereits, um derselben allgemein sicher zu sein, da diese Relation kovarianten Charakter für die Lorentz-Gruppe hat und zudem in homogen ist.


Nach diesen Vorbereitungen beschäftigen wir uns zunächst mit den Gleichungen (C), (D), (E), durch welche die Konstanten eingeführt werden.

Statt des Raumvektors , Geschwindigkeit der Materie, führen wir, wie schon in § 8, den Raum-Zeit-Vektor I. Art mit den 4 Komponenten

ein; dabei gilt

(46)

und .

Unter und wollen wir jetzt wieder die in den Grundgleichungen auftretenden Raum-Zeit Vektoren II. Art und verstehen.

In haben wir wieder einen Raum-Zeit-Vektor I. Art; seine Komponenten werden sein

Die drei ersten Größen sind bez. die