Die Relativtheorie und die Lobatschefskijsche Geometrie

Die Relativtheorie und die Lobatschefskijsche Geometrie.

Von V. Varićak.

In dem Vortrage über die erste Periode in der Entwicklung der nichteuklidischen Geometrie, den ich am 16. März 1907 in der feierlichen Jahressitzung der südslawischen Akademie der Wissenschaften und Künste zu Agram gehalten habe^[1], erwähnte ich auch die Untersuchungen über das zulässige Krümmungsmaß des Raumes, beziehungsweise über die Länge der absoluten Einheitsstrecke des hyperbolischen Raumes.

Alle Längen, mit denen wir zu tun haben, verschwinden gegen diese Einheitsstrecke und deswegen reduzieren sich in den Gebieten unseres Erfahrungsraumes die Formeln der Lobatschefskjischen Geometrie auf die Ausdrücke der gewöhnlichen euklidischen Geometrie. Um das Verhältnis dieser Geometrien durch eine Analogie aus der Physik begreiflicher zu machen, verwies ich auf das Verhältnis der Mechanik der Elektronen zur Newtonschen Mechanik^[2].

Die Lorentz-Fitzgeraldsche Hypothese von der Kontraktion des Elektrons führte mich auf die Vermutung, ob sich diese Kontraktion nicht als eine Folge der geometrischen Anisotropie des Raumes deuten ließe? Sie schien mir eine Analogie zu bilden zur Deformation der Längen in einer sehr bekannten Interpretation der Lobatschefskijschen Geometrie^[3]. Es scheint nun, daß sich meine Vermutung über das Hineinspielen der nichteuklidischen Geometrie in die Relativtheorie verwirklichen will. Das Erscheinen der Arbeit von Herglotz^[4] veranlaßt mich, folgende Bemerkungen gleich zu veröffentlichen, da seine Arbeit in einem Punkte teilweise in derselben Richtung geht, wie meine diesbezüglichen Untersuchungen. Der tatsächliche Inhalt meiner Mitteilung ist natürlich ein ganz anderer.

1. Die Substitution ${\tfrac {v}{c}}=\mathrm {th} \,u$.

Diese Substitution bahnte mir den Weg zur nichteuklidischen Interpretation der Relativtheorie. Nun bemerke ich nachträglich, daß Minkowski^[5] auch einmal

$-i\,\mathrm {tg} \,i\,\psi ={\frac {e^{\psi }-e^{-\psi }}{e^{\psi }+e^{-\psi }}}=q$

gesetzt, d. h. das Geschwindigkeitsverhältnis als ein Tangens hyperbolicus ausgedrückt hat, aber er beachtete nicht weiter das mittlere Glied in dieser Relation.

J. J. Thomson^[6] hat das Verhältnis der Geschwindigkeit des Elektrons zur Lichtgeschwindigkeit als den Sinus eines gewissen Winkels $\vartheta$ ausgedrückt. Fasse ich diesen Winkel als Komplement des zur Länge $U$ gehörigen Parallelwinkels, so komme ich wieder zu jener Substitution. Die verschiedenen Wege, auf denen man zu dieser Substitution gelangt ist, erhöhen das Vertrauen zu ihr.

Bei der Zusammensetzung der Geschwindigkeiten $v_{1}$ und $v_{2}$, die den Winkel $\alpha$ einschließen, hat man das Lobatschefskijsche Dreieck mit den Seiten $u_{1}$ und $u_{2}$ dem eingeschlossenen Winkel $\pi -\alpha$ zu bilden. Der Geschwindigkeit $v$ ordnet man die Länge $U$ von der Maßzahl $u$ nach der Relation

$u=\mathrm {th} ^{-1}{\frac {v}{c}}$

(1)

zu.

Nach englischer Schreibweise bedeutet $\mathrm {th} ^{-1}{\tfrac {v}{c}}$ die inverse Funktion des hyperbolischen Tangens. Wir wollen nun untersuchen, ob diese Festsetzung nicht in einem zu schroffen Gegensatze zur gewöhnlichen Veranschaulichung der Geschwindigkeiten steht? Als Repräsentanten von Geschwindigkeiten gleichförmiger Bewegungen benutzt man in der gewöhnlichen Mechanik die mit den betreffenden Geschwindigkeiten proportionalen Strecken. In den Grenzen unserer gewöhnlichen Erfahrung führt die Formel (1) zu demselben Resultate. Erst bei den Geschwindigkeiten, die mit der Lichtgeschwindigkeit einigermaßen vergleichbar sind, zeigt sich ein merklicher Unterschied, der dann schnell zur unendlichen Verzerrung führt. Als die Einheitsstrecke benutzen wir den Weg des Lichtes in einer Sekunde. Dann ist

${\frac {U}{c}}=\mathrm {th} ^{-1}{\frac {v}{c}}={\frac {v}{c}}+{\frac {1}{3}}\left({\frac {v}{c}}\right)^{3}+{\frac {1}{5}}\left({\frac {v}{c}}\right)^{5}+\dots$

(2)

Nehmen wir zuerst $v$ = 1 km/sec, dann ist

${\frac {U}{c}}={\frac {1}{3\cdot 10^{5}}}+{\frac {1}{3^{4}\cdot 10^{15}}}+{\frac {1}{5\cdot 3^{5}\cdot 10^{25}}}+\dots$

(3)

Wenn wir alles nach dem ersten Gliede auf der rechten Seite vernachlässigen, so begehen wir einen Fehler, der nicht einmal auf die zehnte Dezimale Einfluß üben würde. Man hat also auch bei unserer Festsetzung für die Geschwindigkeit von 1 km/sec eine Länge von 1 km zum Repräsentanten.

Nimmt man dann die in der gewöhnlichen Mechanik jedenfalls außerordentlich große Geschwindigkeit von 100 km/sec, so wird

${\frac {U}{c}}={\frac {1}{3\cdot 10^{3}}}+{\frac {1}{3\cdot 3^{3}\cdot 10^{9}}}+{\frac {1}{5\cdot 3^{5}\cdot 10^{15}}}+\dots$

und die repräsentierende Länge $U$ ist beiläufig um 3 mm größer von 100 km. Der Geschwindigkeit von 100000 km/sec entspricht die Länge von 103700 km.

Ziehen wir noch zwei Geschwindigkeiten von $\beta$-Strahlen in Betracht, die in dem berühmten Kaufmannschen Versuche berechnet wurden und denen die Geschwindigkeitsverhältnisse 0,7202 und 0,9326 entsprechen. Sie betragen etwa 216060 und 279780 km/sec und sie werden repräsentiert durch die Längen von 272400 und 503400 km.

Für $v=c$ hat man $U=\infty$.

In graphischer Darstellung lassen sich diese Verhältnisse sehr leicht überblicken. Nimmt

Fig. 1.

man $u$ als Abszisse und ${\tfrac {v}{c}}$ als Ordinate, so wird (1) durch die Kurve $T$ dargestellt. Der gewöhnlichen Festsetzung $u={\tfrac {v}{c}}$ entspricht die Gerade $G$ bzw. das erste Glied in der unendlichen Reihe (2). Diese Gerade ist die Inflexionstangente von $T$ in $O$, schmiegt sich also der Kurve in ziemlich weiter Umgebung des Koordinatenanfangspunktes gut an.

Die Fig. 1 kann uns bei der Zusammensetzung der Geschwindigkeiten gute Dienste leisten. Man kann zur resultierenden Länge $U$ gleich die entsprechende Geschwindigkeit $v$ aus der Figur entnehmen.

Schließen die Geschwindigkeiten $v_{1}$ und $v_{2}$ den Winkel $\alpha =0$ ein, liegen sie also in derselben Richtung, so ist $u=u_{1}+u_{2}$. Die resultierende Geschwindigkeit folgt aus der Formel

$\mathrm {th} \,u={\frac {\mathrm {th} \,u_{1}+\mathrm {th} \,u_{2}}{1+\mathrm {th} \,u_{1}\,\mathrm {th} \,u_{2}}},$

oder

$v={\frac {v_{1}+v_{2}}{1+{\frac {v_{1}v_{2}}{c^{2}}}}}.$

Die Resultante ist zwar kleiner als die Summe der Komponenten, aber sie wird doch dargestellt wie auch in der gewöhnlichen Mechanik durch eine Länge, welche der Summe der die Komponenten darstellenden Längen gleichkommt. Es ist nämlich in diesem Falle $U=U_{1}+U_{2}$.

Mit dieser Festsetzung stimmt die Figur im sechsten Göttinger Vortrage Poincarés nicht überein^[7].

Komponiert man zwei gleiche Geschwindigkeiten, denen die Länge $U_{1}$ entspricht, so wird die Resultante durch die Länge $2U_{1}$ repräsentiert.

2. Lorentz-Einsteinsche Transformation als Translation.

Nehmen wir diese Transformation in der Form, die ich ihr gegeben habe^[8],

$\left.{\begin{array}{c}l'=-x\ \mathrm {sh} \,u+l\ \mathrm {ch} \,u,\\x'=x\ \mathrm {ch} \,u-l\ \mathrm {sh} \,u,\\y'=y,\ z'=z.\end{array}}\right\}$

(4)

Die Veränderlichen $x$, $y$, $z$, $l$ fasse ich als homogene Weierstraßsche Koordinaten im Lobatschefskijschen dreidimensionalen Raume auf. Sind $X$, $Y$, $Z$ Lobatschefskijsche rechtwinklige Koordinaten, $\xi$, $\eta$, $\zeta$ die vom Punkte $M$ auf die Ebenen des rechtwinkligen Koordinatensystems gefällten Lote und $r$ die Entfernung jenes Punktes vom Koordinatenanfang, so erhält man aus der leicht zu entwerfenden Figur folgende Gleichungen

$x=\mathrm {sh} \,\xi =\mathrm {sh} \,X\,\mathrm {ch} \,Y\,\mathrm {ch} \,Z,$

(5)

$y=\mathrm {sh} \,\eta =\mathrm {sh} \,Y\,\mathrm {ch} \,Z,$

(6)

$z=\mathrm {sh} \,\zeta =\mathrm {sh} \,Z,$

(7)

$l=\mathrm {ch} \,r=\mathrm {ch} \,X\,\mathrm {ch} \,Y\,\mathrm {ch} \,Z.$

(8)

Diese Weierstraßschen Koordinaten erfüllen, wie leicht ersichtlich, die quadratische Gleichung^[9]

$l^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}=1.$

(9)

Dies ist eben die Invariante erster Art der durch die Gleichungen (4), oder durch

$U\,f=-l{\frac {\partial f}{\partial x}}-x{\frac {\partial f}{\partial l}}$

(10)

definierten Transformation.

Nimmt man

$y=y'=c_{1},\ z=z'=c_{2},$

(11)

so erhält man zwei Abstandsflächen^[10]

$\mathrm {sh} \,Y\,\mathrm {ch} \,Z=\mathrm {sh} \,c_{1}$

(12)

und

$Z=\mathrm {sh} ^{-1}c_{2}.$

(13)

Ihre Mittelebenen sind die Koordinatenebenen $XZ$ und $XY$.

Die Lorentz-Einsteinsche Transformation läßt sich deuten als eine Translation längs der Durchschnittslinie dieser zwei äquidistanten Flächen.

Um die Sache zu vereinfachen, setzen wir $Z=0$ und so werden die Weierstraßschen Koordinaten eines Punktes in der Ebene

$\left.{\begin{array}{l}x=\mathrm {sh} \,\xi =\mathrm {sh} \,X\,\mathrm {ch} \,Y,\\y=\mathrm {sh} \,\eta =\mathrm {sh} \,Y,\\l=\mathrm {ch} \,r=\mathrm {ch} \,X\,\mathrm {ch} \,Y.\end{array}}\right\}$

(14)

Die Lorentz-Einsteinsche Transformation

$\left.{\begin{array}{c}l'=-x\,\mathrm {sh} \,u+l\,\mathrm {ch} \,\ u,\\x'=x\,\mathrm {ch} \,u-l\,\mathrm {sh} \,\ u\\y'=y,\ z'=z=0\end{array}}\right\}$

(15)

definiert eine Bewegung längs der Abstandslinie $Y=b$, welche die $X$-Achse zur Mittellinie hat. Der Parameter $b$ ist beliebig.

Die Schiebung um die Strecke $s$ längs dieser äquidistanten Linie ist bestimmt durch die Gleichungen^[11]

$X'=X-{\frac {s}{\mathrm {ch} \,b}},\ Y'=Y.$

(16)

Fig. 2.

Hier ist $s$ der Bogen $MM'$ dieser Abstandslinie. Sei $u$ seine Projektion $NN'$ in die $X$-Achse, dann ist

$X'=X-u,\ Y'=Y,$

(17)

also

$\left.{\begin{array}{l}\mathrm {sh} \,X'=\mathrm {sh} \,X\,\mathrm {ch} \,u-\mathrm {ch} \,X\,\mathrm {sh} \,u\\\mathrm {sh} \,Y'=\mathrm {sh} \,Y.\end{array}}\right\}$

(18)

Durch Multiplikation der ersten Gleichung mit

$\mathrm {ch} \,Y'=\mathrm {ch} \,Y$

erhält man

$\left.{\begin{array}{rl}\mathrm {sh} \,X'\,\mathrm {ch} \,Y'=&\mathrm {sh} \,X\,\mathrm {ch} \,Y\,\mathrm {ch} \,u-\mathrm {ch} \,X\,\mathrm {ch} \,Y\,\mathrm {sh} \,u\\\mathrm {sh} \,Y'=&\mathrm {sh} \,Y.\end{array}}\right\}$

(19)

Nach der Fig. 2 ist es weiter

$\mathrm {ch} \,OM'=\mathrm {ch} \,X'\,\mathrm {ch} \,Y',$

(20)

oder

$\left.{\begin{array}{c}\mathrm {ch} \,r'=\mathrm {ch} \,(X-u)\mathrm {ch} \,Y=\mathrm {ch} \,X\,\mathrm {ch} \,Y\,\mathrm {ch} \,u\\-\mathrm {sh} \,X\,\mathrm {ch} \,Y\,\mathrm {sh} \,U.\end{array}}\right\}$

(21)

Berücksichtigt man die Gleichungen (14), so kann man (19) und (21) auf die Form

${\begin{array}{l}x'=x\ \mathrm {ch} \,u-l\ \mathrm {sh} \,u,\ y'=y\\l'=-x\ \mathrm {sh} \,u+l\ \mathrm {ch} \,u,\end{array}}$

bringen und dies sind eben die Gleichungen (15) der Lorentz-Einsteinschen Transformation.

3. Die Ortszeit.

Sind in $M$ und $M'$ zwei Beobachter, die sich mit gleichförmigen, aber verschiedenen Geschwindigkeiten bewegen, so kann jeder der beiden mit genau dem nämlichen Rechte behaupten, daß er relativ zum leeren Raume ruht. Daß aber der Beobachter in $M$ eine andere Zeitrechnung als der Beobachter in $M'$ besitzt, ersieht man aus der obigen Figur, denn es ist $r$ verschieden von $r'$. Der hyperbolische Kosinus vom Radiusvektor des Punktes, in dem sich der Beobachter befindet, ist nach unserer Festsetzung seine Ortszeit. Die Auffassung des neuen Zeitbegriffs^[12] wird durch diese Interpretation wesentlich erleichtert. Sie wirkt fast intuitiv. Es erübrigt nur noch, zu untersuchen, ob sie wohl dasselbe wird leisten können, was die einfache und sehr suggestive Minkowskische Koordinatentransformation vermag.

Der Punkt $M$ kann jede Lage auf jener Abstandslinie einnehmen. Nehmen wir ihn so, daß $u$ gleich seiner Abszisse wird, d. h. daß der Punkt $M'$ in den Durchschnittspunkt der Abstandslinie mit der Ordinatenachse fällt oder verlegen wir den Koordinatenanfangspunkt nach

Fig. 3.

$N'$. Die durch eine gleichförmige Bewegung von der Geschwindigkeit ${\tfrac {c}{v}}=\mathrm {th} \,u$ bedingte Raumzeittransformation wird dann durch die Weierstraßschen Koordinaten des Punktes $M$ vollständig charakterisiert. Es ist $NN'=ON=u$ zu setzen. Dieser spezielle Fall, der in Fig. 3 dargestellt ist, führt uns dazu, die Zeiteinheit des Beobachters in einem bestimmten Punkte der Abstandslinie als hyperbolischen Kosinus seiner Lobatschefskijschen Abszisse zu nehmen.

Für die Beobachter in $M$ und $M'$ (Fig. 2) sind bezügliche Zeiteinheiten

$\tau =\mathrm {ch} \,ON,\ \tau '=\mathrm {ch} \,ON'.$

(22)

Aus den rechtwinkligen Dreiecken $OMN$ und $OM'N'$ ersehen wir, daß

${\frac {\mathrm {ch} \,OM}{\mathrm {ch} \,ON}}={\frac {\mathrm {ch} \,OM'}{\mathrm {ch} \,ON'}}=\mathrm {ch} \,b$

oder

${\frac {l}{\tau }}={\frac {l'}{\tau '}}$

(23)

konstant ist. Jene Beobachter sind also überzeugt, daß sich ihre Zeit bei der Bewegung nicht geändert hat. Diese Veränderung könnte nur ein in Ruhe sich befindlicher Beobachter konstatieren.

Nehmen wir den Beobachter $M'$ wieder in dem Durchschnittspunkte der Abstandslinie mit der Ordinatenachse (Fig. 3), dann ist seine Zeiteinheit $\tau '=1$, während die Zeiteinheit $\tau$ des Beobachters in $M$ gleich $\mathrm {ch} \,u$ wird. Es ist also

$\tau '={\frac {\tau }{\mathrm {ch} \,u}}.$

(24)

Die Formel (23) gibt

$l'={\frac {l}{\mathrm {ch} \,u}},$

(25)

und das ist das Resultat Einsteinscher Untersuchung^[13].

Das in der Formel (23) und Fig. 3 dargestellte Verhältnis wird gestört, wenn man eine Verschiebung des Koordinatenanfangspunktes auf der Ordinatenachse vornimmt. Die Linie $MM'$ hört dann auf, eine Abstandslinie mit der Abszissenachse als Mittellinie zu sein. Die $X_{1}$-Achse nähert sich ihr immer mehr, schneidet sie und entfernt sich dann von ihr bis zur Unendlichkeit. Die $X_{2}$-Achse entfernt sich gleich von ihr. Die Linien $X$, $X_{1}$, $X_{2}$ haben die Ordinatenachse $Y$ zum gemeinsamen Lote, gehen also in der Lobatschefskijschen Geometrie um so weiter auseinander, je weiter sie verlängert werden.

Fig. 4.

4. Die gleichförmige Bewegung.

Bei den Translationen längs den Abstandslinien zur $X$-Achse bleibt die Schar der Normalen zur $X$-Achse unverändert und umgekehrt; einzelne Normalen werden untereinander permutiert. Die Invarianten zweiter Art der infinitesimalen Transformation (10) sind diese Normalen

$\omega (l,x)={\frac {l}{x}}-\coth u=0,$

(26)

denn es ist

$U(\omega )=-1+\omega ^{2}=F(\omega ).$

In den Lobatschefskijschen rechtwinkligen Koordinaten ist die Gleichung der Normalen im Punkte $(u,0)$

$X=u.$

(27)

Setzt man dies in die Formeln (14), so wird

$x=\mathrm {sh} \,u\,\mathrm {ch} \,Y,\ l=\mathrm {ch} \,u\,\mathrm {ch} \,Y,$

und daraus erhält man sofort die Gleichung (26).

Fig. 5.

Bei gleichförmiger Bewegung ist das Verhältnis der Maßzahl des Weges zur Maßzahl der Zeit gleich der Maßzahl der Geschwindigkeit. Es ist also

$x:{\frac {\mathrm {ch} \,r}{\mathrm {ch} \,u}}={\frac {v}{c}},$

oder

${\frac {x}{l}}=\mathrm {th} \,u.$

Das Bild der gleichförmigen Bewegung ist die Normale zur $X$-Achse (Fig. 5). Durch die in Fig. 4 angedeutete Koordinatentransformation wird auch die Gleichförmigkeit der Bewegung aufgehoben.

Bei Minkowski ist die Weltlinie‚ welche die gleichförmige Bewegung darstellt, die Gerade in der $xt$-Ebene durch den Koordinatenanfang.

Interessant ist in diesem Zusammenhange auch die folgende Überlegung Palagyis^[14]: „Was wir in dem stehend gedachten Raume als den durch den materiellen Punkt zurückgelegten Weg betrachten, ist nur der scheinbare Weg, den der Punkt beschreibt; der wirkliche Weg aber ergibt sich durch Konstruktion des rechtwinkligen Parallelogrammes aus dem scheinbaren Wege und aus der verflossenen Zeit … Dies mußte sich daraus ergeben, daß wir schon die Ruhe als eine gleichförmige Bewegung, und zwar als eine Bewegung in der subjektiven Dimension der Zeit auffaßten. Wir setzen also diese subjektive Komponente mit der objektiven Komponente, die durch den scheinbaren Weg gegeben ist, durch das Parallelogramm zusammen und erhielten so den wirklichen Weg, den der Punkt im fließenden Raume zurücklegt.

Dieser wirkliche Weg bildet mit dem Zeitstrahl einen Winkel $\varphi$, den ich den Zeitwinkel der gleichförmigen Bewegung nenne.“

Die Geschwindigkeit drückt er durch die Tangente des Zeitwinkels $\varphi$ aus.

Das Bild der beschleunigten Bewegung ist die Abstandslinie. Ihrem Durchschnitte mit der Ordinatenachse ordnen wir die relative Geschwindigkeit Null zu; in ihren übrigen Punkten ist

$v=c\,\mathrm {th} \,\ X.$

Die Geschwindigkeit wächst mit der Entfernung bis zur Lichtgeschwindigkeit an.

5. Das Dopplersche Prinzip.

In meiner ersten Arbeit über die nichteuklidische Interpretation der Relativtheorie^[15] transformierte ich die erste Einsteinsche Formel für das Dopplersche Prinzip auf die Form

${\frac {\nu '}{\nu }}={\frac {\mathrm {ch} \,\left(u_{1}-u\right)}{\mathrm {ch} \,u_{1}}}.$

(28)

Nehmen wir zwei äquidistante Linien (Fig. 6) mit der $X$-Achse als gemeinsamen Mittellinie und mit den Parametern $OA=u_{1},\ OA'=u_{1}-u$. Die Bogen dieser zwei Abstandslinien, die von der $Y$-Achse und der Normalen zur $X$-Achse im Punkte $C$ abgegrenzt werden, sind

$AB=OC\,\mathrm {ch} \,u_{1},\ A_{1}B_{1}=OC\,\mathrm {ch} \,\left(u_{1}-u\right).$

Es ist also

${\frac {\nu '}{\nu }}={\frac {A_{1}B_{1}}{AB}}.$

(29)

Fig. 6.

Das Verhältnis der Frequenzen $\nu '$ und $\nu$ läßt sich im allgemeinen Falle darstellen als das Verhältnis der Bogen zweier Abstandslinien zwischen gemeinsamen Normalen.

Für $\varphi =0$ wird $u_{1}=\infty$. Die Abstandslinien gehen in die Grenzkreise mit den gemeinsamen Achsen über, und es wird

$\nu '=\nu e^{-u}.$

(30)

Diesem Falle entspricht Fig. 7.

Fig. 7.

In der euklidischen Geometrie reduzieren sich die Abstandslinien und die Grenzkreise auf Parallelen zur gegebenen Geraden. Die Ausdrücke für das Dopplersche Prinzip in der gewöhnlichen Mechanik kann man leicht graphisch versinnlichen mittels der Abschnitte paralleler Transversalen zwischen den Schenkeln eines Winkels.

6. Die Aberration.

Der Lichtstrahl $T$ treffe die $X$-Achse unter dem Winkel $\varphi$. Um die Richtung des abgelenkten Lichtstrahles zu finden, haben wir aus $N$ eine Lobatschefskijsche Parallele zu $T$ zu ziehen. Die Aberrationsgleichung ist

$u'_{1}=u_{1}-u.$

(31)

Die Konstruktion der verlangten Parallele ist in Fig. 8 folgendermaßen ausgeführt^[16]. Sei

Fig. 8.

$MN=u=\mathrm {th} ^{-1}{\tfrac {v}{c}}$. Wir fällen von $N$ aus auf $MT$ das Lot $NP$, errichten sodann auf $NP$ in $N$ das Lot $NR$, nehmen ferner auf $MT$ die Strecke $MS=1$ und fällen von $S$ aus auf $NR$ das Lot $SR$. Machen wir noch $NU=PS$, so wird $NU$ parallel zu $MT$ im Lobatschefskijschen Sinne, und diese Parallele schließt mit der $X$-Achse den Winkel $\varphi '$ ein.

Da der Punkt $U$ immer zwischen $S$ und $R$ zu liegen kommt, so ersieht man leicht aus der Figur, daß in der Relativtheorie $\varphi '$ kleiner als $\varphi '_{0}$ der gewöhnlichen Mechanik ist.

In der Einsteinschen Formel für die Aberration

$\cos \varphi '={\frac {\cos \varphi -{\frac {v}{c}}}{1-{\frac {v}{c}}\cos \varphi }},$

(32)

drücken wir die auf der linken Seite und im Zähler des Bruches vorkommende Kosinusse durch entsprechende Sinusse aus, quadrieren dann und erhalten so nach einigen Umformungen

$\sin \varphi '={\frac {\sin \varphi \cdot {\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}{1-{\frac {v}{c}}\cos \varphi }}.$

(33)

Bei der Bewegung der Erde in ihrer Bahn relativ zum Fixsternhimmel als Bezugssystem ist ${\tfrac {v}{c}}=0,0001$^[17]. Für solche kleine Geschwindigkeit kann man ${\tfrac {v^{2}}{c^{2}}}$ vernachlässigen, um dann

$\sin \varphi '={\frac {\sin \varphi }{1-{\frac {v}{c}}\cos \varphi }}$

(34)

zu erhalten. Die Formel (34) und die Fomel (32), in der wir $\varphi '_{0}$ statt $\varphi _{0}$ nehmen wollen, geben

${\frac {\sin \varphi '_{0}}{\cos \varphi '_{0}}}={\frac {\sin \varphi }{\cos \varphi -{\frac {v}{c}}}},$

(35)

woraus man in Übereinstimmung mit der gewöhnlichen Theorie die Formel

$\sin \left(\varphi '_{0}-\varphi \right)={\frac {v}{c}}\sin \varphi '_{0}$

(36)

leicht findet. Durch Vergleichen der Formeln (33) und (34) finden wir

$\sin \varphi '={\frac {\sin \varphi '_{0}}{\mathrm {ch} \ u}}.$

(37)

Nimmt man in der Fig. 3 aber $OM'=u$, so kann man setzen

$MM'=\sin \varphi '_{0},\ ON=\sin \varphi '.$

(38)

Noch besser wäre, Fig. 1 in meiner ersten Mitteilung zu nehmen. Dann kann man nehmen

$s=\sin \varphi '_{0},\ s'=\sin \varphi '.$

7. Der Lichtdruck.

Die folgenden Bemerkungen beziehen sich auf Einsteinsche Formeln, die sich in § 8 seiner ersten Arbeit über das Relativitätsprinzip^[18] befinden. Man ersieht leicht, daß

${\frac {E'}{E}}={\frac {A'}{A}}={\frac {\mathrm {ch} \,\left(u_{1}-u\right)}{\mathrm {ch} \,u}}$

ist und dies kann man, wie früher ${\tfrac {\nu '}{\nu }}$, mittels der Fig. 6 interpretieren.

Für den Lichtdruck gibt Einstein die Formel

$P=2{\frac {A^{2}}{8\pi }}{\frac {\left(\cos \varphi -{\frac {v}{c}}\right)^{2}}{1-\left({\frac {v}{c}}\right)^{2}}}.$

(41)

Wir transformieren sie zuerst auf die Form

$P=2{\frac {A^{2}}{8\pi }}\left(\mathrm {th} \,\ u_{1}-\mathrm {th} \,\ u_{2}\right)^{2}\cdot \mathrm {ch} ^{2}u,$

woraus man leicht

$P={\frac {2A^{2}}{8\pi }}\left({\frac {\mathrm {sh} \,\left(u_{1}-u\right)}{\mathrm {ch} \,u_{1}}}\right)^{2}$

(42)

erhält.

Nehmen wir ein Lobatschefskijsches rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse $u_{1}-u$ und einem spitzen Winkel $\alpha =\Pi \left(u_{1}\right)$, so erhalten wir für die dem Winkel $\alpha$ anliegende Kathete den Ausdruck

$\mathrm {sh} \,b={\frac {\mathrm {sh} \,\left(u_{1}-u\right)}{\mathrm {ch} \,u_{1}}},$

(43)

und so wird

$P={\frac {1}{4\pi }}\left(A\,\mathrm {sh} \,b\right)^{2}.$

(44)

Agram, 12.Februar 1910.

(Eingegangen 18. Februar 1910.)     

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1. Erschienen im „Rad jugoslavenske akademije“ 169, 110–194, 1907.
2. a. a. O., S. 172.
3. Meine Bemerkungen zu dieser Interpretation sind erschienen im Rad jugoslavenske akademije 154, 81–131‚ 1903. Mit dieser Interpretation befaßt sich auch A. Schwarz: Zur Theorie der reellen linearen Transformationen und der Lobatschefskijschen Geometrie, Wien, Sitzungsb., II. Abt., 99, 1890. Bonolas Index operum ad geometriam Absolutam spectantium, in der Klausenburger Festschrift, erwähnt diese Abhandlung nicht.
4. Herglotz, Über den vom Standpunkt des Relativitätsprinzips aus als „starr" zu bezeichnenden Körper. Ann. d. Phys. 31, 383, 1910.
5. Minkowski, Die Grundgleichungen usw., Göttinger Nachrichten, S. 59, 1908.
6. Lodge, Elektronen, S. 120.
7. H. Poincaré, Sechs Vorträge aus der reinen Mathematik und mathematischen Physik, 1910, S. 52.
8. Diese Zeitschr. 11, 93, 1910.
9. Für diese Koordinaten siehe Liebmann, Nichteuklidische Geometrie, S. 166, und Killing, Die nichteuklidischen Raumformen.
10. Allgemeine Gleichung der Abstandsfläche gab ich in einer Abhandlung im Rad jugoslavenske akademije 175, 215–240, 1908. Die Mittelebene war dabei bestimmt durch die Enden $\xi$, $\eta$ und den Winkel $\alpha$. Über diese Bestimmung der Ebene siehe meine Arbeit: Zur nichteuklidischen analytischen Geometrie in Atti del IV congresso dei matematici, Roma 1909, 2, 213–226.
11. Über die Transformationen der Lobatschefskijschen Ebene siehe meine diesbezüglichen Arbeiten im Rad jugoslavenske akademije 165, 50–80, 236–244, 1906, oder den kurzen Auszug daraus im Jahresber. d. deutsch. Mathematikerver. 17, 70–83‚ 1908.
12. Planck‚ Acht Vorlesungen über theoretische Physik, S. 117, sagt, daß diese neue Auffassung des Zeitbegriffs an Kühnheit alles übertrifft, was bisher in der spekulativen Naturforschung und philosophischen Erkenntnistheorie geleistet wurde; die nichteuklidische Geometrie, die bisher nur für die reine Mathematik in Betracht käme, wäre ein Kinderspiel dagegen.
13. A. Einstein, Zur Elektrodynamik bewegter Körper. Ann. d. Phys. 17, 904, 1905.
14. Palagyi, Neue Theorie des Raumes und der Zeit, 1901, S. 45.
15. Diese Zeitschr. 11, 93, 1910.
16. Lobatschefskij-Engel, Zwei geometrische Abhandlungen, S. 256.
17. Brill, Einführung in die Mechanik, 1909, S. 206.
18. Ann. d. Phys. 17, 913–915, 1905.